Cтраница 2
Симметрическую алгебру Ли ( д, , а), для которой на q существует форма Q с указанными выше свойствами, назовем псевдоримановой симметрической алгеброй Ли. Если Q положительно ( отрицательно) определена, то приставка псевдо опускается. [16]
Пространство S ( V) ф 0 () с операцией умножения ху Sym ( x 0 у) является алгеброй, которая называется симметрической алгеброй пространства V. [17]
Алгебра Ли Jj компактна, так - что а является для g инволюцией Картана, следовательно, ( fj, , а) - риманова симметрическая алгебра Ли некомпактного типа. Ранги этих двух симметрических алгебр Ли равны. [18]
Подпространство в q называется невырожденным, если на нем форма Q невырождена. Псевдориманова симметрическая алгебра Ли называется разложимой, если q содержит собственное невырожденное подпростраство, инвариантное относительно tang 5, и неразложимой - в противном случае. [19]
Тогда симметрическая алгебра А SK ( V) двойственного пространства V пространства V является градуированной алгеброй полиномиальных функций на V, порожденной линейными функциями первой степени. [20]
Алгебра Ли Jj компактна, так - что а является для g инволюцией Картана, следовательно, ( fj, , а) - риманова симметрическая алгебра Ли некомпактного типа. Ранги этих двух симметрических алгебр Ли равны. [21]
Элементы алгебры S ( L) можно рассматривать как полиномиальные функции на пространстве L со значениями в поле Ж: элементу f e L ставится в соответствие он сам как функционал на L, а произведению элементов в S ( L) и их линейной комбинации - произведение и линейная комбинация соответствующих функций. Не вполне очевидно, что разные элементы S ( L) различаются также как функции на L. Мы оставляем этот вопрос читателю в качестве упражнения. Для симметрических алгебр над конечными полями, которые мы введем ниже, это уже не так: например, функция хР - х тождественно равна нулю в поле Ж из р элементов. [22]
Этот результат Мещерякова дополняет полученное нами выше характеристическое описание операторов типа твердого тела. Теорема 3 мотивирует изучение пар скобок Пуассона, возникающих из двух различных структур алгебр Ли на одном и том же векторном пространстве. Две такие структуры мы назовем согласованными, тесли сумма коммутаторов снова является коммутатором. Естественный класс согласованных скобок Пуассона определяют двойственные по Картану эффективные симметрические алгебры Ли. Пусть тройка ( G, Я, о -) - эффективная симметрическая алгебра Ли и 0 / СФР - ее разложение относительно инволютив-ного автоморфизма а. Предположим, что представление ad: / ( - - End P неприводимо. [23]
Зариского топологии) устроенный как проекция прямого произведения k XX на X, причем склейка сохраняет послойно структуру векторного пространства. Более общее определение, пригодное для произвольной схемы, использует понятие пучка. Пусть § - локально свободный пучок Qx-модулей конечного ( постоянного) ранга, тогда аффинный морфизм V ( §): Spec ( Sym ( §) - Х, где Sym - пучок симметрических алгебр, наз. [24]
Этот результат Мещерякова дополняет полученное нами выше характеристическое описание операторов типа твердого тела. Теорема 3 мотивирует изучение пар скобок Пуассона, возникающих из двух различных структур алгебр Ли на одном и том же векторном пространстве. Две такие структуры мы назовем согласованными, тесли сумма коммутаторов снова является коммутатором. Естественный класс согласованных скобок Пуассона определяют двойственные по Картану эффективные симметрические алгебры Ли. Пусть тройка ( G, Я, о -) - эффективная симметрическая алгебра Ли и 0 / СФР - ее разложение относительно инволютив-ного автоморфизма а. Предположим, что представление ad: / ( - - End P неприводимо. [25]