Cтраница 1
Новая алгебра дала мощное средство для алгебраи-вации топологии - для установления алгебраической природы многих важных соотношений, первоначально обнаруженных в геометрической оболочке; и для естественного обобщения зависимостей, установленных при ограничениях, навязанных способом рассмотрения, а не сутью вопроса. Примером может служить переход о г сумм комплексов с целыми коэффициентами к подобным суммам с коэффициентами пз произвольного кольца, то есть введение групп гомологии с любыми коэффициентами. [1]
Тогда можно построить новую алгебру Ли, обозначаемую GK VV и образованную парами ( X, v), где Х К, v V и правило коммутирования элементов задается следующей формулой. [2]
В качестве простейшего элемента новой алгебры, который позволил бы выражать величины и их взаимоотношения, Декарт выбрал отрезок и обозначающую его символически букву. Приняв во внимание, - говорил он-что для лучшего познания их ( отношений) мне потребуется иногда рассматривать эти пропорции каждую в отдельности, а иногда только удержать их в памяти или обнять многие разом, я полагал, что для лучшего рассмотрения в частностях должен их предполагать в линиях, так как не находил ничего более простого и ясного, что мог бы более отчетлипо представить моему воображению и моим чувствам. [3]
Арифметика Диофанта положила начало новой алгебре; в ней применялась буквенная символика и были введены отрицательные числа. Вместе с тем Арифметика послужила отправным пунктом и для теоретико-числовых исследований Нового времени: там были развиты методы решения неопределенных уравнений, получившие новую жизнь в работах Ферма, Эйлера, Якоби и Пуанкаре. Именно на полях Арифметики Диофанта написаны знаменитые замечания Пьера Ферма ( включая и его Великую теорему), послужившие программой для исследования по теории чисел в течение двух веков. Эти замечания впервые переведены на русский язык здесь. [4]
Следуя методам из [22, 23.1], определим новую алгебру и ( без единицы) следующим образом. [5]
Здесь речь будет идти о понятии, введенном в новую алгебру недавно; поэтому не удивительно, что в последующем изложении оно не будет использоваться систематически. [6]
Переход от алгебры к ее подалгебрам и факторалгебрам является одним из способов получения новых алгебр. [7]
Переход от алгебры к ее подалгебрам и гомоморфным образам является одним из способов получения новых алгебр. Среди других часто применяемых конструкций следует отметить прямые суммы, прямые и подпрямые произведения К. [8]
Полная система коммутирующих наблюдаемых J2, У3, отвечающая этим новым квантовым числам, дополняется затем операторами перехода, и образуется новая алгебра ротатора, которая далее объединяется с алгеброй осциллятора, и получается алгебра наблюдаемых осциллирующего ротатора. [9]
Что такая общая теория полей возникла тогда, когда был накоплен, в более частных исследованиях, соответствующий конкретный материал, показывает сноска Штейница к процитированному месту: К этим общим исследованиям особым стимулом для меня была Теория алгебраических чисел Гензеля1), исходным в которой является поле р-адических чисел - поле, которое нельзя отнести ни к функциональным, н к числовым полям в обычном смысле этих терминов. Так новая алгебра ( абстрактная алгебра) естественно вырастала из теоретико-числовых и арифметических исследований, составлявших одно из главных направлении в математике XIX века и уходящих своими корнями в ту наивную проблему решения алгебраических уравнений, с многовековой историей которой читатель уже знаком. [10]
Возникновение новой алгебры и аналитической геометрии у Декарта осветил Ю ш к е-в и ч [6], указав на прямую связь математических открытий Декарта с обусловленными социальными потребностями эпохи общими методологическими устремлениями французского мыслителя; картезианская алгебра была при этом охарактеризована, как алгебра геометрического построения корней уравнений, в противовес алгебре Ньютона и XVIII в. [11]
В настоящей статье начинается более глубокое исследование соответствующих групп. Будет представлено несколько новых алгебр и новых алгоритмов. Установление изоморфизма графов со степенями вершин, не превышающими /, сводится к задаче о нахождении цветных автоморфизмов для групп, композиционными факторами которых являются подгруппы St-i - Для этого класса групп на основном множестве вводятся два наивных ( хотя ранее не замеченных) приема использования принципа разделяй и властвуй. Тогда для кубических графов очень просто установить полиномиальную временную оценку. Ключевым фактом является то, что прием разделяй и властвуй дает отбой лишь тогда, когда он встречается с примитивными группами. Отсюда следует, что алгоритм нахождения цветных автоморфизмов в действительности одинаково эффективен на р-группах. Именно это используется для ускорения установления изоморфизма графов с большими значениями степеней. Хотя возникающие примитивные группы не являются р-группами, они почти таковы. Точнее будет показано, что эти группы имеют р-подгруппы полиномиального индекса, и их можно найти за полиномиальное время. [12]
В формулах, приведенных в предыдущем номере, матрица входила в качестве нового символа, над которым мы могли производить и некоторые действия, аналогичные действиям над обычными числами. Это приводит нас к естественной мысли построить новую алгебру, которая годилась бы для символов, под которыми мы подразумеваем матрицы. [13]
Ей, несомненно, он отдавал искреннее предпочтение, находи и ее синтетических приемах изящество, которого не усматривал в новой алгебре и, видимо, даже в собственном методе флюксий и флюент. Ньютон был действительно замечательным геометром, о чем свидетельствуют многочисленные вспомогательные предложения о конических сечениях в Математических началах, найденные им чисто синтетическим путем, а также его работы по теории кривых третьего порядка. Как высоко он ни ставил аналитическую геометрию и сколь крупные открытия ни произвел он в этой области, он не считал эту дисциплину подлинной геометрией. На полях Геометрии Декарта он сделал даже категорическую пометку: Неверно, неверно, ото не геометрия ( error, error, non est geometria); для него это было только приложение алгебры к решению геометрических задач, часто полезное, норой, быть может, даже необходимое, но по самому существу своему чуждое духу истинно геометрических доказательств. [14]
По были другие, в частности Ферма, Декарт и Джон Валлис, у которых проявлялась противоположная тенденция - они применяли новую алгебру. Практически все авторы, писавшие в 1630 - 1660 гг., ограничивались вопросами, касавшимися алгебраических кривых, в частности кривых с уравнением атуп Ьпхт. [15]