Cтраница 1
Каччопполи уточнил, каким образом константы, входящие в оценки, зависят от исходных данных задачи. [1]
Метод Каччопполи имеет элементарный характер и не требует предварительного изучения уравнений с постоянными коэффициентами. [2]
Этот прием постоянно применяют Хопф, Шаудер и Каччопполи. [3]
В приведенной форме принцип неподвижной точки установлен Банахом [1] и Каччопполи. Относительно обобщений на многозначные отображения см.: Иоффе и Тихомиров. [4]
В нашем изложении мы будем в основном следовать Шаудеру и Каччопполи, но дадим весь материал в несколько переработанном виде, для того чтобы более точно сформулировать некоторые дополнительные результаты, которые лишь мимоходом упомянуты этими авторами. [5]
Такие формулы могут быть положены в основу нового метода доказательства теорем существования ( Шаудер, Каччопполи), достоинство которого заключается в том, что он не требует предварительного построения фундаментального решения и позволяет вместо теории интегральных уравнений применять некоторые простые теоремы функционального анализа. [6]
Это название неоправдано, так как это предложение в более общем виде имеется уже в работе [10] Каччопполи. Обобщение леммы на случай произвольного 9Dt, данное Чиммино [3,4], также появилось на несколько лет раньше, чем работа Вейля. [7]
Затем Шаудер [8,11] пока - 1ал, что, применяя самые новые результаты, полученные для линей - iux уравнений, удается так видоизменить метод Бернштейна, что: помощью этого метода можно доказать вышеупомянутое утвержде-ше именно в той форме, которая нужна для доказательства теоремы 43, I. Наконец, Каччопполи доказал теорему 43, I новым методом, который значительно проще метода Бернштейна и Шаудера л открывает пути для новых исследований. Действительно, Лере [3] значительно обобщил теорему 43, I, удачным образом комбинируя етоды Каччопполи и Бернштейна. Лере выделил обширный класс эллиптических уравнений, более широкий, чем класс квазилинейных уравнений, такой, что теорема существования решения справедлива яля уравнений этого класса при одном только предположении, что можно заранее установить ограниченность решений и их первых производных. [8]
Некоторые результаты Каччопполи примерно в то же время были установлены также Жиро [20]; но Жиро применял теорему существования решения задачи Неймана в малом. [9]
Полезно отметить, что новизна этой теоремы по сравнению со всеми прочими исследованиями задачи Плато) заключается в том, что минимальная поверхность, существование которой утверждает теорема, регулярна в смысле классической дифференциальной геометрии. Однако, как замечает и сам Каччопполи, его доказательство нельзя еще считать полностью завершенным. [10]
Под этим названием известен способ решения обобщенных краевых задач, который впервые был применен Вейлем [1] при изучении краевых задач для гармонических функций. Несмотря на то, что этот метод заставляет иначе ставить обобщенные краевые задачи, он очень похож на метод, примененный на несколько лет раньше Каччопполи и Чиммино и изложенный в основных чертах в предыдущем пункте. [11]
Затем Шаудер [8,11] пока - 1ал, что, применяя самые новые результаты, полученные для линей - iux уравнений, удается так видоизменить метод Бернштейна, что: помощью этого метода можно доказать вышеупомянутое утвержде-ше именно в той форме, которая нужна для доказательства теоремы 43, I. Наконец, Каччопполи доказал теорему 43, I новым методом, который значительно проще метода Бернштейна и Шаудера л открывает пути для новых исследований. Действительно, Лере [3] значительно обобщил теорему 43, I, удачным образом комбинируя етоды Каччопполи и Бернштейна. Лере выделил обширный класс эллиптических уравнений, более широкий, чем класс квазилинейных уравнений, такой, что теорема существования решения справедлива яля уравнений этого класса при одном только предположении, что можно заранее установить ограниченность решений и их первых производных. [12]
Бернштейн получил эти результаты с помощью метода, который является соединением метода последовательных приближений с методом аналитического продолжения. Этот метод чрезвычайно трудоемок и позволяет прийти к нужным заключениям, лишь допустив ряд неестественных качественных ограничений. Прошло еще несколько лет, прежде чем между 1932 и 1937 гг. Шаудеру, Лере и Каччопполи удалось выяснить истинную природу результатов Бернштейна, существенно упростить их изложение и указать естественную область их действия. Основными средствами исследования для этих авторов были, с одной стороны, общая теория функциональных уравнений в абстрактных пространствах, а с другой - целый ряд новых оценок. [13]
Миранды, достаточно строго доказаны. По мнению автора, эти сомнения, к тому же неуточненные, не обоснованы, хотя заметки [6] и [8] Каччопполи, к которым они, очевидно, относятся, очень трудны для чтения в силу их чрезвычайно сжатого изложения. Во всяком случае, можно надеяться, что изложение содержания этих заметок, данное в пп. [14]
В этом пункте мы напомним некоторые понятия, относящиеся к функциональным уравнениям в абстрактном пространстве, которые служат основой при изучении задачи Дирихле для нелинейных эллиптических уравнений. Полученные результаты, хотя они и оказались очень полезными в других областях, нашли мало применений в теории эллиптических уравнений, где требуются более тонкие теоремы. Эти исследования привели к созданию одного из методов, который может служить основой при изучении задачи Дирихле для нелинейных эллиптических уравнений. Все эти работы были опубликованы между 1927 и 1937 гг. Первой из них была работа [3] Шаудера, которая относится к 1927 г.; затем последовали работа Шаудера [7] и заметки [3, 4] Каччопполи в 1932 г.; статья Лере и Шаудера в 1934 г.; в 1937 г. - последняя работа [9] Каччопполи. [15]