Cтраница 2
Поле - это область, состоящая из элементов, называемых числами; на ней определены две операции и -, удовлетворяющие обычным аксиомам: законам ассоциативности и коммутативности сложения и умножения; закону дистрибутивности, устанавливающему связь между сложением и умножением; далее - требованию однозначной обратимости сложения, приводящему к вычитанию, и требованию однозначной обратимости умножения, которое приводит к делению. Отбросив последний постулат, мы вместо поля получаем кольцо. Теперь поле оказывается уже не фрагментом некоего универсального числового мира - континуума действительных или комплексных чисел, как это представляли себе раньше: каждое кольцо есть, так сказать, некоторый мир сам по себе. Операции позволяют сочленять друг с другом элементы одного и того же кольца, но не элементы различных колец. [16]
Проверив, что свойство нуля и делителей нуля можно доказать, не используя коммутативности сложения, доказать, что в кольце, содержащем хотя бы один элемент с, не являющийся делителем нуля, коммутативность сложения вытекает из остальных аксиом кольца. [17]
Мы доказали теоремы о рядах, аналогичные свойствам ассоциативности и дистрибутивности конечных сумм. Теорема о возможности переставлять в ряде члены, аналогичная коммутативности сложения, носит более узкий характер и справедлива уже не для всех рядов. [18]