Cтраница 2
Множество R называется коммутативным кольцом, если к этим условиям добавлено условие коммутативности умножения. [16]
Гейзенберг очень встревожился, обнаружив, что введенные им матрицы не подчиняются закону коммутативности умножения: ведь из-за этого могла рухнуть вся теория. С незапамятных времен физики использовали динамические переменные, которые всегда образуют обычную алгебру: а, умноженное на Ь, равно Ь, умноженному на а. Было совершенно непостижимо, чтобы динамические переменные не обладали таким свойством. [17]
Тело служит обобщением системы ( Q, , ) рациональных чисел, однако требование коммутативности умножения опускается. [18]
Сформулированное выше правило умножения многочленов позволяет так же, как и для многочленов от одной переменной, свести доказательство коммутативности умножения к тому случаю, когда оба множителя являются одночленами. Что касается умножения одночленов, то его коммутативность видна из формулы ( 7), так как умножение в кольце / ( коммутативно. [19]
Этот анализ привел де Бройля к необходимости постулировать у элементарных частиц наличие волновых свойств, а Гейзенберга - к введению в механику микромира аналогов макроскопических механических величин, не подчиняющихся законам обычной алгебры, а именно закону коммутативности умножения: независимости величины произведения двух сомножителей от порядка умножения. [20]
Коммутативность и ассоциативность сложения очевидны ( точнее, вытекают из соответствующих свойств сложения действительных, чисел), так как при сложении точек плоскости мы отдельно складываем их абсциссы н отдельно ординаты. Коммутативность умножения основана на том, что в определение произведения точки а. [21]
Евклид обосновывает коммутативность умножения, а также дистрибутивность этой операции относительно сложения. [22]
Это показывает, что произведения АВ и ВА отличаются одно от другого. Обычный закон коммутативности умножения не выполняется для матриц. [23]
Вследствие того, что в аффинной геометрии свойство коммутативности умножения эквивалентно Паскаля теореме, то непаскалевой обычно наз. А, В, С п соответственно Alt Вг, С, отличные от точки пересечения данных прямых; если СВг параллельна ВСг и САг параллельна АСг, то BAi будет параллельна АВг, эту теорему иногда наз. Паппа, она является частным случаем теоремы Паппа - Паскаля из теории конич. [24]
До сих пор мы упорно сохраняли все аксиомы, которым удовлетворяют обычные числа. Существуют, однако, веские основания, побуждающие отказаться от коммутативности умножения. Действительно, такие операции, как вращения твердого тела в пространстве, некоммутативны относительно своей композиции: для композиции двух вращений весьма существенно, производится ли сначала первое вращение и затем второе или же вращения выполняются в обратном порядке. Композиция рассматривается в данном случае как своего рода умножение. Вращения, если их записать в координатах, являются линейными преобразованиями. Линейные преобразования, поскольку их можно складывать и умножать, служат наиболее важным примером некоммутативных величин. [25]
Операции сложения и умножения линейных преобразований подчиняются всем аксиомам коммутативного кольца, за исключением коммутативности умножения. [26]
Так как умножение коммутативно, то говорят, что это коммутативное кольцо. В математике изучают также более общие кольца, отбрасывая, например, аксиому сокращения [ А 2 ] или коммутативность умножения. [27]
Я ничего не знал о происхождении д-чисел и считал, что гейзенберговские матрицы как раз и служат примером q - чисел, но могло оказаться, что q - числа имеют и более общий смысл. Все, что было известно о q - числах, сводилось к следующему: они подчиняются алгебре, в которой справедливы все обычные аксиомы, кроме закона коммутативности умножения. [28]
Кольцом называется множество, для которого: определены операции сложения и умножения элементов; сложение ассоциативно и коммутативно, сложение обратимо, умножение ассоциативно и дистрибутивно. Множество квадратных матриц одинакового порядка, элементами которых являются действительные числа, удовлетворяет этим условиям. Так как закон коммутативности умножения не выполняется, кольцо матриц не коммутативно. Оно обладает делителями нуля. Единичная матрица является однозначно определенным нейтральным элементом умножения. Кольцом является также множество целых чисел, однако это кольцо коммутативно. [29]
Другими словами, в поле возможно деление на элементы, отличные от нуля. В определении поля подчеркнуто то общее, что объединяет системы рациональных, вещественных и комплексных чисел. Если в определении поля не предполагать коммутативность умножения, то приходим к понятию тела. [30]