Cтраница 3
Однако в этом случае матрицы произведения имеют разный тип. Для квадратных матриц одинакового порядка закон коммутативности умножения также не имеет места. [31]
Если же отказаться от коммутативности умножения, то такое построение возможно в четырехмерном пространстве; получающаяся система чисел называется системой кватернионов. Аналогичное построение возможно и в восьмимерном пространстве - получается так называемая система чисел Кэли. Здесь приходится отказываться, впрочем, не только от коммутативности умножения, но и от его ассоциативности, заменяя последнее одним более слабым требованием. [32]
Гильберт фиксирует три точки О, U и V на прямой и, опираясь на аксиомы инцидентности и D-теорему, указывает две конструкции, каждая из которых по любой паре точек прямой, отличных от V, позволяет найти определенную точку прямой, также отличную от V. Одну из операций Гильберт называет сложением, другую - умножением и доказывает, что для этих операций выполняются все аксиомы поля, кроме аксиомы о коммутативности умножения. Для коммутативности умножения необходимо и достаточно, чтобы выполнялась еще теорема Паскаля ( сокращенно: Р - теорема) о шести точках, располагающихся по три на каждой из двух данных прямых. [33]
Реализация абстрактной группы посредством преобразований данного многообразия а получается сопоставлением каждому элементу 5 группы преобразования 5 многообразия о, s - S, такого, что s - 5, / - Т влечет st - ST. В общем случае коммутативный закон st ts не будет иметь места; если же он справедлив. Так как композиция элементов группы не удовлетворяет, вообще говоря, закону коммутативности, оказалось удобным употреблять термин кольцо в более широком смысле, который lie предполагает коммутативности умножения. [34]
Не все требования I - V, входящие в определение кольца, являются в одинаковой мере необходимыми. Развитие науки показывает, что в то время как свойства сложения I и II и закон дистрибутивности V имеют место во всех приложениях, включение в определение кольца свойств умножения III и IV часто оказывается излишне стеснительным, суживая возможную область примени-мости этого понятия. Так, множество квадратных матриц порядка п с действительными элементами, рассматриваемое с операциями сложения и умножения матриц, удовлетворяет всем требованиям, входящим в определение кольца, за исключением закона коммутативности умножения. [35]
Гильберт фиксирует три точки О, U и V на прямой и, опираясь на аксиомы инцидентности и D-теорему, указывает две конструкции, каждая из которых по любой паре точек прямой, отличных от V, позволяет найти определенную точку прямой, также отличную от V. Одну из операций Гильберт называет сложением, другую - умножением и доказывает, что для этих операций выполняются все аксиомы поля, кроме аксиомы о коммутативности умножения. Для коммутативности умножения необходимо и достаточно, чтобы выполнялась еще теорема Паскаля ( сокращенно: Р - теорема) о шести точках, располагающихся по три на каждой из двух данных прямых. [36]
Лемма 6.2 важна тем, что указывает возможность построения алгоритма умножения ( пХ / г) - матриц из алгоритмов умножения ( 2х2) - матриц и ( ( п / 2) х ( п / 2)) - матриц. Здесь же подчеркнем тот факт, что алгоритм умножения ( 2х2) - матриц будет не произвольным, а специально ориентированным на работу с Rz. Так как кольцо R-2 n / 2 не коммутативно, даже если таково кольцо R, то этот алгоритм умножения ( 2х2) - матриц не может предполагать коммутативности умножения ( ( п / 2) х ( и / 2)) - матриц. Но он может, разумеется, использовать любое из свойств кольца. [37]
Люди часто пытаются предугадать способы получения новых идей. Некоторые работают над аксиоматической формулировкой современной квантовой механики. Представьте себе, что кто-то работает над аксиоматическим обоснованием теории боровских орбит; они никогда бы не пришли к квантовой: механике Гейзенберга. Им никогда не пришло бы в голову, что надо усомниться в аксиоме коммутативности умножения. Точно так же и будущее развитие должно затронуть что-то такое, в чем никто до сих пор никогда не сомневался и что не вскроется при аксиоматической формулировке. [38]
Одним из элементов кольца является нулевой элемент. Умножение на нуль всегда коммутативно. Если кольцо содержит только один элемент, то утверждение задачи доказано - Если в кольце имеется еще один элемент а, то существует лишь одно произведение, отличное от нуля: а-а. Ясно, что оба входящих в него сомножителя можно переставлять местами, не изменяя произведение. Таким образом, в этом случае отличные от нуля элементы кольца удовлетворяют соотношению аЬ Ьа. Коммутативность умножения для всех других вариантов выбора двух элементов кольца следует из приведенных выше соображений. [39]
Можно ли найти более подходящий гамильтониан. Перед нами огромные возможности, потому что теория Гейзенберга представляет собой очень мощный инструмент, гораздо более мощный, чем классическая механика. Ее сила в том, что входящие в нее динамические переменные могут иметь очень общую природу. Обычно эти динамические переменные считаются функциями динамических координат и их производных. Первоначально Гейзенберг сформулировал свои уравнения в терминах динамических переменных, имеющих вид матриц. Это могут быть любые алгебраические величины, причем, вообще говоря, коммутативности умножения не требуется: произведение и на v не равно произведению v на и, однако умножение должно быть ассоциативно. При этом возникают большие возможности. Динамические переменные могут быть не связаны с переменными классической механики. Возможно, что динамические переменные являются элементами некоторой группы. Современная физика в существенной степени связана с введением таких динамических переменных в квантовую теорию. [40]