Cтраница 2
В настоящее время в теории вероятностей наиболее распространенным является подход, в котором событие определяется через неопределяемое понятие элементарного события. [16]
Из этого следует, однако, что и современное развитие аксиоматического метода, приведшее к необходимости явной формулировки не только системы неопределяемых понятий и недоказываемых предложений ( аксиом) данной математической дисциплины, но и применяемых в ней правил определения понятий и доказательства предложений, на деле оказывается подтверждающим точку зрения диалектического материализма. [17]
Ситуация определяется как множество понятий, на котором задана система бинарных отношений. Существование базовых неопределяемых понятий обусловливается ограничениями, накладываемыми задачами управления на глубину описания структуры объектов. [18]
Мы начинаем с понятия пространства элементарных событий и его точек; впредь они будут рассматриваться как данные. Они являются первоначальными и неопределяемыми понятиями теории так же как понятие точка и прямая остаются неопределяемыми при аксиоматическом построении евклидовой геометрии. Природа элементарных событий не играет роли в нашей теории. Пространство элементарных событий служит моделью идеализированного опыта в том смысле, что по определению любой мыслимый исход опыта полностью описывается одной и только одной точкой этого пространства. О каком-либо событии А имеет смысл говорить только тогда, когда для каждого исхода опыта известно, произошло или не произошло событие А. Совокупность точек, представляющих все те исходы, при которых происходит событие А, полностью описывает это событие. Обратно, произвольно заданное множество Л, содержащее одну или более точек нашего пространства, можно назвать событием; оно происходит или не происходит в зависимости от того, принадлежит или не принадлежит множеству А точка, представляющая исход опыта. [19]
Мы отправляемся от понятая пространства элементарных событий и его точек, впредь они будут рассматриваться как данные. Они явля отся первоначальными и неопределяемыми понятиями теории, так же как понятия точка и прямая остаются неопределяемыми при аксиоматическом построении евклидовой геометрии. Природа элементарных событий не интересует нашу теорию. Пространство элементарных событий служит моделью идеализированного опыта в том смысле, что, по определению, любой мыслимый исход опыта полностью описывается одним и только одним элементарным событием. О каком-либо событии А имеет смысл говорить лишь в том случае, если для любого исхода опыта известно, произошло или не произошло событие А. Совокупность точек, представляющих все те исходы, при которых событие А происходит, полностью описывает это событие. Обратно, произвольное заданное множество А, содержащее одну или более точек нашего пространства, можно рассматривать как событие; оно происходит или не происходит в зависимости от того, принадлежит или не принадлежит множеству А точка, представляющая исход опыта. Поэтому мы определяем слово событие как термин, означающий некоторое множество элементарных событий. Мы будем говорить, что событие А состоит из определенных точек, а именно точек, представляющих те исходы идеализированного опыта, при которых происходит событие А. [20]
Геометрия строится на неопределяемых понятиях - на аксиомах, из которых на основании логических рассуждений выводятся другие предложения - теоремы. [21]
Такой Список определяется ( рекурсивно) как конечная последовательность атомов либо Списков, число которых, может быть, и равно нулю. В данном случае атом - неопределяемое понятие, относящееся к элементам, взятым из любого множества предметов, лишь бы соблюдалось условие, что можно отличить атом от Списка. [22]
Итак, из начальных понятий, перечисленных в предисловии, понятия множества и кортежа являются у нас неопределяемыми, понятия соответствия, функции и отношения - определяемыми. Заметим, что выделение из начальных понятий неопределяемых понятий является в некоторой степени произвольным. [23]
Построение логически полноценной теории вероятности ссновано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятности. В системе аксиом, предложенной А. Н. Колмогоровым, неопределяемыми понятиями являются элементарное событие и вероятность. [24]
Так, немецкий математик Фреге показал, как, отправляясь от чистой логики и самых элементарных частей теории множеств, определить основные понятия теории чисел таким образом, чтобы затем вся теория могла быть построена, исходя из этих определений. С другой стороны, итальянский математик Пеано, принимая в качестве первоначальных неопределяемых понятий напТуральные числа, нуль и следующее за, дал систему аксиом, на базе которой также может быть построена вся теория натуральных чисел. [25]
Можно было бы утверждать, что полное определение неопределяемых понятий находится только в постулатах, так как там уже содержатся все вытекающие из них утверждения. Подобная точка зрения означала бы, что постулаты являются косвенными определениями всех неопределяемых понятий, поскольку те получают определение через какие-либо другие понятия. [26]
Вторая система может, в свою очередь, являться скелетом для третьей системы, и так далее. Может также существовать система ( например, абсолютная геометрия) которая частично дает пассивные значения своих неопределяемых понятий и которая может быть дополнена правилами и аксиомами, далее ограничивающими эти значения. Именно это и происходит в случае эвклидовой геометрии в сравнении с неэвклидовой. [27]
Половина дальнейшего текста этого параграфа ( до определения понятия кортеж надданным множеством) является описанием этого неопределяемого понятия. [28]
А) раскрывается посредством сведения его к последующим понятиям этой цепочки. Поскольку множество всевозможных понячий, с которыми имеют дело в математике ( к в любой другой науке), в каждый данный момент конечно, необходимо должны существовать такие понятия, которые мы считаем первичными неопределяемыми понятиями, не сводимыми ни к каким другим. Например, понятие множества в математике считается первичным неопределяемым понятием. Различные предметы по какому-нибудь признаку объединяются в одно множество и называются элементами этого множества. [29]
Это одно из основных неопределяемых понятий, смысл которого раскрывают при помощи различных описаний. В старых книгах величинами называли все то, что способно увеличиваться или уменьшаться. Однако это нельзя считать строгим определением, так как говорят, например, об увеличении аппетита, прав, обязанностей и других понятий, которые не принято считать величинами. [30]