Cтраница 3
Пусть теперь X и У - произвольные компактные хаусдорфовы пространства. Так же как в доказательстве теоремы 6.3, вложим X и У в тихоновские кубы. Тогда каждое из пространств X и У обладает фундаментальной системой замкнутых окрестностей, имеющих гомотопический тип конечных регулярных клеточных комплексов. [31]
В этом параграфе будет показано, что, как и следовало ожидать, в случае пространств, допускающих клеточные разбиения, описание внешнего умножения допускает упрощения. Этот факт имеет несколько важных следствий: ( а) В случае регулярных клеточных комплексов внешнее умножение можно вычислять, исходя лишь из одной клеточной структуры. В случае клеточных комплексов внешнее умножение описывается очень простыми формулами, способствующими развитию интуитивного геометрического представления об этом умножении, ( с) Мы сможем показать, что в случае регулярных клеточных комплексов внешнее умножение подчиняется закону антикоммутативности. В качестве следствия это свойство будет установлено и для w - умножения. [32]
Пусть К - регулярное клеточное разбиение пространства X и А - подпространство в X, совместимое с клеточным разбиением К ( в смысле гл. Тогда множества Lq Kq ( A определяют клеточное разбиение пространства А. Если это разбиение является регулярным клеточным комплексом, то L L4 называется подкомплексом в К. [33]
Регулярный клеточный комплекс называется локально конечным, если у каждой точки существует окрестность, пересекающаяся лишь с конечным числом клеток. Из этого условия, очевидно, вытекает локальная компактность пространства X. Однако обратное не верно. Приведем пример локально компактного пространства X, допускающего структуру не локально конечного регулярного клеточного комплекса. [34]
Яр - это начальная стадия доказательства единственности теорий гомологии и когомологий, удовлетворяющих стандартным требованиям ( см. § 1.6 и 4.3), в категориях клеточных разбиений или комплексов. Проверка должна опираться на теорему о клеточных аппроксимациях собственных отображений. Стандартная информация о клеточных непрерывных отображениях ( см. [51], [11]) может быть приспособлена к собственным отображениям локально конечных регулярных клеточных комплексов. В связи с этим естественно обратить внимание на следующий факт, выпавший из поля зрения автора. Как отмечается в главе 3, клеточный способ вычисления когомологий Я. Нр) дает правильный результат лишь для конечномерных клеточных разбиений. Причина этого вскрыта в примечании переводчика к § 3.3: для всякого С - комплекса К, имеющего конечное число клеток в каждой размерности, финитные коцепи С ( К), совпадая с обычными клеточными коцепями С ( К), приводят к обычным когомологиям Я, рассматриваемым в части II книги. [35]