Cтраница 1
Асколи является наиболее важным критерием компактности множества функций. В этой книге мы будем часто на нее ссылаться. [1]
Арцела - Асколи у любой последовательности функций этого семейства существует равномерно сходящаяся подпоследовательность. Согласно следствию теоремы Хаусдорфа ( § 23), множество М предкомпактно. [2]
Введя принадлежащее Асколи понятие равностепенной непрерывности семейства функций и, Арцела [ 3, с. Не останавливаясь на деталях рассуждения Арцелы, процитируем конец его доказательства. [3]
По теореме Асколи - Арцела существует последовательность nk ( 0, равномерно сходящаяся на каждом ограниченном интервале t к непрерывной функции х ( t), в то время как п - оо. [4]
Цель теоремы Асколи - выделить некоторые множества в С ( Г АГ), в которых ис и us индуцируют одну и ту же равномерную структуру, а тс и ts - одну и ту же топологию. При этом существенную роль играет понятие равностепенной непрерывности. [5]
Из теоремы Асколи и соотношений (9.11.10) и (9.11.11) вытекает, что и - компактный эндоморфизм пространства С. [6]
Лемма Арчела - Асколи выражает свойство компактности любого ограниченного в С ( К) множества, состоящего из равностепенно-непрерывных на К функций. [7]
В силу теоремы Асколи последовательность компактна в смысле равномерной сходимости на каждом конечном интервале, а так как fn - fu на ( - U, U), то все ее предельные хар. Отсюда следует, что в случае, когда существует только одна хар. [8]
Более общие результаты получены Асколи [8] при помощи того же метода и более глубокого анализа. [9]
Поэтому, согласно теореме Асколи ( см. Дьедонне [1] или Дугунджи [1]), найдется такая последовательность 8П - 0, что и п сходится в С ( [ - Т, Т ], Я5 1 ( М)) к пределу, который мы обозначим и. Очевидно, что и удовлетворяет (2.1), (2.2) в смысле распределений. [10]
Отсюда и из теоремы Асколи 2) следует утверждение леммы. Подобные рассуждения приложимы и к произвольному множеству НаХ, для которого v ( ( J) ограничено. [11]
Практически удобно пользоваться методом Асколи для построения углов а. Для ординаты / 1 000 CCS fiu проводят линию, параллельную оси абсцисс, и на ней откладывают значения NB в масштабе, в 1 000 раз большем масштаба для Н ( фиг. Находят на этой прямой точку, соответствующую данной величине NB, и соединяют ее с началом координат. [12]
Поэтому из теоремы Арцела - Асколи следует, что если X - ограниченно компактно, А С С ( Х) - ограниченное замкнутое семейство путей, имеющих равномерно ограниченные длины и параметризованных относительной длиной, то в А существует путь наименьшей длины. [13]
Оба утверждения следуют из теоремы Асколи. [14]
С другой стороны, теорема Асколи и обратная ей теорема утверждают, что множество непрерывных функций компактно в смысле равномерной сходимости на конечном замкнутом интервале тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно на этом интервале. Так как ft равномерно ограничены, то это утверждение следует из Б и В. [15]