Cтраница 3
Проверить, что в копредставлении ( я, 6, с, d: b c - lac, c dbd-l, da-lca, a bdb-l) всякое соотношение является следствием остальных. [31]
Копредставление группы G состоит из Копредставления ( х: г) и некоторого изоморфизма i группы х: г на G. Ясно, что любой гомоморфизм ф свободной группы F ( x) на G, ядро которого совпадает с оболочкой множества г, определяет копредставление группы G. Обратно, всякое копредставление группы G определяет такой гомоморфизм. [32]
Итак, гомотопические классы отображений копредставлений находятся во взаимно однозначном соответствии с гомоморфизмами определяемых ими групп. Более того, это соответствие сохраняет композиции. [33]
Элементарные идеалы, определенные для любого конечного копредставления, являются обобщениями полиномов узла, которые мы определим в следующей главе для копредставлений групп узлов. Имеется несколько преимуществ введения идеалов раньше полиномов. Прежде всего, в то время как идеалы определяются для произвольного конечного копредставления группы, полиномы существуют и единственны только для более ограниченного класса групп, удовлетворяющих некоторым алгебраическим условиям. В следующей главе мы обсудим эти условия и покажем, что всякая группа ручного узла удовлетворяет им. [34]
Копредставление (3.1) группы узла называется копредставлением Виртингера, если всякий проход содержит только одно пересечение и каждый путь vt пересекается с проекциями переходов ровно в четырех точках. Эти два условия всегда можно выполнить, за исключением того случая, когда узел не имеет проходов. О том, что это естественные ограничения, свидетельствует тот факт, что исторически это Копредставление группы узла было одним из первых изученных, и оно, несомненно, наиболее часто встречается - в литературе. Копредставления клеверного листа и восьмерки, изучаемые в следующем параграфе, являются примерами его использования. [35]
Включим, однако, в это копредставление все три соотношения, полученные при просмотре проходов. [36]
Используя утверждение (4.6), нетрудно описать простое копредставление свободной абелевой группы. Например, копредставления (, у: ху ух) и (, у, z: ху - ух, yzzy, zxxz) являются копредставлениями свободных абелевых групп рангов 2 и 3 соответственно. [37]
Следовательно, в любом из таких копредставлений одно из соотношений может быть опущено. Этот факт очень помогает при вычислениях и имеет важные теоретические приложения. [38]
Действительно, пусть прокоммутированная группа М конечного копредставления ( х: г) бесконечна. Тогда, очевидно, существует гомоморфизм /: Я - У, отображающий Я на группу целых чисел. [39]
Итак, условие ( I) определения дуальных копредставлений проверено. [40]
Задача о том, определяют ли два разных копредставления изоморфные группы, называется проблемой изоморфизма. Общее решение этой проблемы не существует1), но можно найти весьма важные для нас частные решения. [41]
В этом параграфе мы докажем, что верхнее и нижнее копредставления, заданные формулами (1.1) и (1.2), на самом деле являются копредставлениями групп я ( У. [42]
В, р0) выбрана свободной группой этого копредставления. [43]
Как можно увидеть из рис. 49, это копредставление получено упрощением копредставления Виртингера. [44]
Фундаментальная группа iri ( S -) имеет следующее копредставление, задаваемое следующей таблицей. [45]