Cтраница 3
Следовательно, всякий корень исходного уравнения является корнем второго. С другой стороны, ОДЗ второго уравнения шире, чем у первого, и поэтому естественно ожидать появления посторонних корней, но именно за счет расширения ОДЗ. Значит, для решения достаточно найти корни второго уравнения и проверить их на вхождение в ОДЗ первого уравнения. [31]
Поскольку преобразования, которые мы совершаем над уравнениями, связаны с - возможностью потери ила приобретения посторонних корней, очень важным является понятие эквивалентности, или равносильности, уравнений. Два уравнения называются эквивалентными, если все корни первого уравнения являются также корнями второго уравнения, и наоборот, все корни второго уравнения являются также корнями первого. Иначе говоря, уравнения эквивалентны, если они имеют только общие корни. Уравнения, каждое из которых не имеет ни одного корня, следует считать эквивалентными. [32]
Правильное ее применение состоит в том, что если в какой-то ситуации А справедливо, то делается вывод о справедливости В. Для всякого квадрата посылка истинна; значит, в квадрате диагонали равны. Распространенная ошибка в математических рассуждениях состоит в том, что к высказыванию А, истинность которого не установлена, применяется правильная теорема А-В и из истинности предложения В делается вывод об истинности А. О возникающей здесь ситуации можно сказать еще так: Из неверного утверждения верными методами можно получить верный результат ( но нельзя, конечно, верными методами получить из верного утверждения неверный результат. Обратно, если нам известны все корни первого уравнения, то это не означает, что мы знаем все корни второго уравнения: переход от уравнения Q ( A) O к уравнению Р ( х) 0 может сопровождаться потерей корней. В этом случае уравнения называются равносильными; множества корней таких уравнений совпадают. [33]