Cтраница 4
Кривой Г в плоскости ( z) соответствуют простые замкнутые кривые. [46]
Упражнение 2.17. Докажите методом от противного, что простой замкнутой кривой с наименьшим периметром, которая ограничивает заданную площадь, является окружность. [47]
ДЕНДРИТ - локально связный континуум, не содержащий простых замкнутых кривых. [48]
Рассмотрим, далее, значения функционала / на простых замкнутых кривых Г семейства и, расположенных внутри кольца, ограниченного кривыми С и D. Предположим, что это кольцо не содержит особых точек функции V. Мы видели, что значения 7 убывают при перемещении кривой Г наружу от кривой С или внутрь от кривой D. На этой кривой функционал / достигает минимального значения. Очевидно, что кривая Г0 не может совпадать как с кривой С, так и с кривой D ни целиком, ни какой-либо частью. Таким образом, если на кривой С W 0, а на кривой D W 0, то в кольцевой области, ограниченной этими кривыми, существует по крайней мере одна периодическая траектория. [49]
Если D - замкнутая жорданова область, ограниченная простой замкнутой кривой С, / ( С) - непрерывная функция на С и F - семейство функций F ( z), непрерывных в D, принимающих на С значения / ( С) и непрерывно дифференцируемых в D, то гармоническая функция U ( z) из семейства F, которая существует и определена однозначно ( гл. [50]