Cтраница 3
На первый взгляд это обозначение может показаться довольно странным, но на протяжении книги мы убедимся в том, что оно полезно и естественно. Сейчас читатель может рассматривать символы д / дх как держатели мест для компонент ф ( е) касательного - вектора v; или, что равносильно, как специальный базис касательных векторов, соответствующих координатным кривым, которые в локальных координатах выражаются в виде х кв, где ei есть / - и базисный вектор в Rm. Позже мы увидим, каким образом каждый вектор д / дх на самом деле соответствует оператору взятия частной производной. [31]
Мы будем называть эту кривую и2 - кривой. Придавая и1 и и2 последовательность фиксированных значений, получаем сетку кривых на поверхности, называемых координатными кривыми. Пересечение пары координатных кривых при фиксированных значениях и1 и, ы2 и2 определяет точку РО - Переменные м1, и2, определяющие точку Р на 5, называются криволинейными или гауссовыми координатами на поверхности. [32]
Если доказано, что система координат ортогональна, то может быть полезен еще и другой метод расчета метрических коэффициентов. В этом случае координатные поверхности 2 и д3 перпендикулярны к координатным поверхностям дх. Но так как координатная кривая дх принадлежит одновременно каждой из первых поверхностей, эта кривая должна быть перпендикулярна к поверхности ( ft const. Тогда в общем координатные кривые q нормальны к поверхностям, на которых q постоянна. Следовательно, единичный касательный вектор Ц к координатной кривой дд, проходящей через данную точку пространства, тождествен единичному нормальному вектору nk к координатной поверхности дА, проходящей через эту точку. [33]
На неустойчивость по выбору точек обращали внимание авторы работ [7, 134] и др. Самый простой подход, заключающийся в равномерном расположении точек вдоль по кривой, в некотором смысле один из худших. Более рационально выбрать узлы коллокаций в нулях полиномов Чебышева первого рода. В нашем случае метод приемлемо работает только для границ очень близких к координатным кривым и малом количестве точек коллокаций. С другой стороны, если необходимо быстро получить приближенное решение, преимущества его несомненны. [34]
Если доказано, что система координат ортогональна, то может быть полезен еще и другой метод расчета метрических коэффициентов. В этом случае координатные поверхности 2 и д3 перпендикулярны к координатным поверхностям дх. Но так как координатная кривая дх принадлежит одновременно каждой из первых поверхностей, эта кривая должна быть перпендикулярна к поверхности ( ft const. Тогда в общем координатные кривые q нормальны к поверхностям, на которых q постоянна. Следовательно, единичный касательный вектор Ц к координатной кривой дд, проходящей через данную точку пространства, тождествен единичному нормальному вектору nk к координатной поверхности дА, проходящей через эту точку. [35]
Если доказано, что система координат ортогональна, то может быть полезен еще и другой метод расчета метрических коэффициентов. В этом случае координатные поверхности 2 и д3 перпендикулярны к координатным поверхностям дх. Но так как координатная кривая дх принадлежит одновременно каждой из первых поверхностей, эта кривая должна быть перпендикулярна к поверхности ( ft const. Тогда в общем координатные кривые q нормальны к поверхностям, на которых q постоянна. Следовательно, единичный касательный вектор Ц к координатной кривой дд, проходящей через данную точку пространства, тождествен единичному нормальному вектору nk к координатной поверхности дА, проходящей через эту точку. [36]
Приписывая Qk РЯД различных значений, получаем семейство поверхностей, на которых д постоянны. Если функции выбраны надлежащим образом, то в каждом из этих трех семейств найдется по крайней мере одна поверхность, проходящая через любую произвольную точку Р в пространстве. Таким образом, точка пространства характеризуется пересечением трех поверхностей дх const, g2 const, q3 const ( см. рис. А. Координатная поверхность относится к той координате, которая постоянна на ней, другие две координаты на этой поверхности переменны. Пересечение любых двух координатных поверхностей определяет кривую, называемую координатной кривой. [37]