Времениподобная кривая

Cтраница 2

Если и d ( p, q) 0, и d ( q, p) 0, то можно указать направленные в будущее времениподобные кривые yt из р в q и у2 из q в р соответственно. [16]

В этом разделе, следуя Уленбеку ( 1975) ( см. также Вудхауз ( 1976)), мы рассмотрим теорию Морса для пространства путей направленных в будущее времениподобных кривых, соединяющих две хронологически связанные точки в глобально гиперболическом пространстве-времени. Оба подхода основываются на изложении теории Морса для пространства путей полного риманова многообразия, предложенном Милнором ( 1966, с. Они воспользовались результатом Кларке ( 1970) о том, что всякое четырехмерное глобально гиперболическое пространство-время можно изо-метрично вложить в пространство-время Минковского высокой размерности, задавая тем самым на подклассе времениподобных кривых в М структуру гильбертова многообразия. [17]

Поэтому в силу условия (9.73) вариация а геодезической р [ О, / 2 ] удовлетворяет условию (9.70) леммы 9.71. Применяя эту лемму, находим, что эта вариация дает времениподобные кривые as из р ( 0) в Р ( U) для малых s Ф О, как и требовалось. [18]

Определение 5.7. Пространство-время ( М, g) называется о.у. полным, если все направленные в будущее ( соответственно в прошлое) непродолжаемые в будущее ( соответственно в прошлое) С2 - гладкие времениподобные кривые с единичным вектором скорости и ограниченным ускорением имеют бесконечную длину. Если же найдется направленная в будущее ( или в прошлое) непродолжаемая в будущее ( или в прошлое) С2 - гладкая времени-подобная кривая с единичным вектором скорости и ограниченным ускорением, но с конечной длиной, то ( М, g) называется о.у. неполным. [19]

Нижняя половина цилиндра W ( t, 8): t 0 является НП, которое можно представить как / - ( у) для направленной в будущее и непродолжаемой в будущее времениподобной кривой у. [20]

Если выбраны конкретные X и у на конгруэнции, то мы получаем систему координат. Конгруэнция времениподобных кривых называется системой отсчета. [21]

Ясно, что отношения и: транзитивны. Если существует направленная в будущее времениподобная кривая, идущая из р в д, то существует и окрестность t / точки д, такая, что любой точки из U можно достичь направленной в будущее времениподобнои кривой. Отсюда вытекает справедливость следующего утверждения. [22]

Искомое противоречие устанавливается следующим образом. Можно показать, что в пространстве-времени с поверхностью Коши существует конгруэнция времениподобных кривых. Следовательно, 2 имеет границу в 2, но это противоречит тому, что Э / ( 5) - многообразие без края. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы Пенроуза о сингулярности. [23]

Хронологическое ( соответственно причинное будущее заданной точки состоит из всех точек, которые можно достичь из этой точки направленными в будущее времениподобными кривыми ( соответственно непространственноподоб-ными. В данном примере причинное будущее J ( г точки г является замыканием хронологического будущего 1 ( г этой точки. С другой стороны, множество J ( q не является замыканием / ( q. В частности, точка w лежит в замыкании J ( q, но не принадлежит J ( q. [24]

По-видимому, двумя самыми простыми свойствами, которыми надо снабдить конформную структуру С ( М, g), являются следующие: ( М, g) является либо хронологическим, либо причинным. Это означает, что ( М, g) не содержит замкнутых времениподобных кривых. [25]

Показано универсальное накрытие двумерного пространства-времени де Ситтера второго рода. [26]

Однако все направленные в будущее времениподобные геодезические, исходящие из р, вновь фокусируются в будущем во вре-мениподобно сопряженной точке г. Поэтому времениподобных геодезических в М, идущих из р в q, нет. Вследствие этого среди кривых, соединяющих р и q, не существует ни максимальной времениподобной геодезической, ни максимальной времениподобной кривой. [27]

В этом случае существует замкнутая времениподобная кривая, проходящая через р, и пространство-время называют имеющим нарушение причинности. Например, на цилиндре М S1 X R с лоренцевой метрикой ds2 - d92 Л2 окружности t - const являются замкнутыми времениподобными кривыми. Именно из-за проблем, тесно связанных с примерами нарушения причинности, в последние годы в общей теории относительности было дано большое число различных формулировок условий причинности. [28]

Показано пространство-время Райссысра - Нордстрема с с2 т2. Выбирая времениподобные кривые у, идущие из р в q близко к У и У - мы можем сделать L ( V произвольно большим. Поэтому d ( p, д. [29]

Подчеркнем, что лоренцево расстояние d ( p, q) не обязательно должно быть конечным. Одной из возможностей того, что d ( p, q) - - - - оо, может быть следующая: времениподобные кривые из р в с / при подходе к некоторым граничным точкам пространства-времени могут достигать произвольно больших длин. [30]

Страницы: 1 2 3