Времениподобная кривая
Cтраница 3
Уже на этой стадии проявляется основное различие между лоренцевой и римановой геометриями. Из физических соображений пространственно-временные многообразия общей теории относительности обычно предполагаются хронологическими. Однако легко показать, что если М компактно, то ( М, g) содержит замкнутую времениподобную кривую. Поэтому пространственно-временные многообразия, обычно рассматриваемые в общей теории относительности, предполагаются некомпактными. [31]
Вследствие того что сильная причинность в точке р нарушается, для каждого k найдется направленная в будущее непространственноподобная кривая YS. Никакие две точки у хронологически не связаны, так как в противном случае можно было бы получить замкнутую времениподобную кривую, а пространство-время ( М, g) хронологическое. Это приводит к противоречию ввиду того, что по предположению каждая изотропная геодезическая имеет сопряженные точки и поэтому содержит точки, которые можно соединить времениподобными кривыми. [32]
В этом разделе, следуя Уленбеку ( 1975) ( см. также Вудхауз ( 1976)), мы рассмотрим теорию Морса для пространства путей направленных в будущее времениподобных кривых, соединяющих две хронологически связанные точки в глобально гиперболическом пространстве-времени. Оба подхода основываются на изложении теории Морса для пространства путей полного риманова многообразия, предложенном Милнором ( 1966, с. Они воспользовались результатом Кларке ( 1970) о том, что всякое четырехмерное глобально гиперболическое пространство-время можно изо-метрично вложить в пространство-время Минковского высокой размерности, задавая тем самым на подклассе времениподобных кривых в М структуру гильбертова многообразия. [33]
С физической точки зрения большую важность имеют времени-подобные кривые и пространственноподобные гиперповерхности в пространстве-времени. Первые определяются условием ds2 О для любых двух точек, находящихся на такой кривой. Ясно, что времениподобные кривые и пространственноподобные ( трехмерные) гиперповерхности являются инвариантными геометрическими образами. Пространственноподобные гиперповерхности важны тем, что на них можно произвольно задавать состояния физических объектов, не заботясь о выполнении принципа причинности. [34]
Заметим, что в теореме 9.41 топология С ( Р, ) не связана с исходной топологией многообразия. Пусть ( М, g) - глобально гиперболическое пространство-время, удовлетворяющее условию ( Уленбека) роста метрики. Тогда существует класс гладких времениподобных кривых у: [ 0, оо) - М со следующим свойством. [35]
Керра - Ньюмена является таким образом границей диска г0, 06: я / 2, внутри которого метрика не имеет особенностей. Ее можно поэтому аналитически продолжить внутрь кольцево-й сингулярности на область отрицательных значений координаты г вплоть до г - - оо. Это приводит к усложнению причинной структуры многообразия. Вблизи кольцевой сингулярности вектор Кил-линга ( Ф) становится времениподобным, а его замкнутые орбиты будут представлять собой замкнутые времениподобные кривые. Небезынтересно также отметить, что эффекты поляризации вакуума квантовой теории поля приводят к разрушению внутреннего горизонта. [37]
Пользуясь предложением 11.33 и компактностью Я, получаем, что объединение всех таких изотропных геодезических сегментов из Я в фокальную точку содержится в компактном множестве К, состоящем из изотропных геодезических сегментов, начинающихся на Я. Я), то г можно соединить с Я направленной в прошлое изотропной геодезической, но нельзя направленной в прошлое времениподобной кривой. Эта последовательность имеет предельную точку х - К. Я), откуда следует, что х G Е ( Н) - Проведенное рассуждение показывает, что Е ( Я) является замкнутым подмножеством компактного множества К и, значит, само компактно. [38]
Вследствие того что сильная причинность в точке р нарушается, для каждого k найдется направленная в будущее непространственноподобная кривая YS. Никакие две точки у хронологически не связаны, так как в противном случае можно было бы получить замкнутую времениподобную кривую, а пространство-время ( М, g) хронологическое. Это приводит к противоречию ввиду того, что по предположению каждая изотропная геодезическая имеет сопряженные точки и поэтому содержит точки, которые можно соединить времениподобными кривыми. [39]
Страницы: 1 2 3