Cтраница 3
Можно показать, что лемма Цорна, аксиома выбора и теорема Цермело - эквивалентные друг другу утверждения. Они являются обобщением принципа математической индукции в случае несчетных множеств. [31]
Некоторые авторы рассматривают вариант леммы Цорна, в котором предположение индуктивной упорядоченности множества X заменяется более слабым требованием, чтобы каждое совершенно упорядоченное подмножество в X обладало мажорантой в X. Такое видоизменение леммы Цорна не существенно для тех случаев, где она используется в этой книге. [32]
Доказательство проводится с помощью леммы Цорна. [33]
Пусть 4 удовлетворяет условиям леммы Цорна. [34]
Всякий необратимый элемент по лемме Цорна содержится в некотором максимальном идеале. [35]
Покажем теперь, что из леммы Цорна вытекает аксиома выбора. [36]
Существование непродолжимого решения следует из леммы Цорна. Кроме того, если функция f определена и непрерывна на открытом подмножестве R X С, то максимальный интервал существования должен быть открытым справа. [37]
Мы приведем другой пример применения леммы Цорна, где фигурируют уже известные нам понятия. [38]
Легко проверить, что условие леммы Цорна выполнено: если у нас есть семейство частичных порядков, линейно упорядоченное по включению, то объединение этих порядков является частичным порядком, и этот порядок будет верхней границей семейства. Проверим, например, что объединение обладает свойством транзитивности. Пусть х i у в одном из порядков семейства ( i), а у 2 z в Другом; один из порядков ( например, : Ci) продолжает другой, тогда х Ji у Ci z и потому х z в объединении. Рефлексивность и антисимметричность проверяются столь же просто. [39]
Таким образом, можно применить лемму Цорна и заключить, что любое линейно независимое множество векторов содержится в максимальном линейно независимом множестве векторов. К нему уже нельзя добавить ни одного вектора, не создав линейной зависимости, и оно является искомым базисом. [40]
Доказательство этой леммы основано на лемме Цорна, сформулированной на стр. [41]
И аксиома полной упорядоченности, и лемма Цорна эквивалентны следующей аксиоме. [42]
Важными следствиями из аксиомы выбора являются лемма Цорна и теорема о том, что каждое множество можно вполне упорядочить. [43]
Покажем, что из теоремы Цермело вытекает лемма Цорна. [44]
Покажем, что для него выполнено условие леммы Цорна. [45]