Cтраница 3
Прежде чем привести пример незамкнутого максимального положительного линеала, напомним одну лемму общего характера, которой ниже придется неоднократно пользоваться. [31]
На основе (17.6) на линеале D были обычным образом определены норма u А и расстояние рл. Они вновь являются расширениями нормы и А и расстояния рА ( и, v), определенных первоначально на DA с помощью (17.4), на полное множество D. Линеал D с метрикой рл называется пространством НА. Это пространство полно в метрике рл; следовательно, оно является гильбертовым пространством. Как уже отмечалось, его элементы являются, с одной стороны, элементами линеала DA ( всюду плотного в Ял), с другой-элементами Df. Df является элементом Я, не принадлежащим Dл, хотя в то же время является пределом в Н некоторой последовательности ип, фундаментальной в SA. Элементы из Df могут иметь самый различный характер. Например, в распространенном случае дифференциальных операторов второго порядка, где в качестве Я выбирается, как правило, L2 ( G) l) и где линеал функций, непрерывных со своими частными производными первого и второго порядка в замкнутой области G и удовлетворяющих рассмотренным граничным условиям, берется в качестве DA в отношении элементов Df мы можем в общем сказать только то, что они обладают так называемыми обобщенными частными производными первого порядка, квадратично интегрируемыми в области G. Позже, когда будет определено пространство W G), можно будет характеризовать элементы НА более подробно. [32]
Равномерно дефинитные ( регулярные) линеалы и подпространства. [33]
Пусть, для определенности, линеал 8 положителен. Поскольку форма [ х, у ] па 8 является положительно определенной ( [ х, х ] 0 для всех ( 8) же 8), то ее можно принять - за новое скалярное произведение на 8, превратив этим самым 8 в ( вообще говоря) предгильбертово пространство. [34]
Из (2.1) видно, что линеалы ЬР и Lp определяемые формулами (2.2), являются собственными для операторов П Т 1 и Г Г 1 соответственно. [35]
Доказать, что все максимальные равномерно дефинитные линеалы замкнуты, и получить для них принцип максимальности ( ср. [36]
С практической точки зрения нахождение экстремального линеала, например, системы собственных функций, может оказаться сложнее, чем решение исходной задачи. [37]
Докажите, что любой изоморфизм линеала Vect ( n) на линеал R является координатным изоморфизмом, определенным некоторым базисом. [38]
Займемся теперь другим частным случаем семиде-фипитных линеалов - нейтральными линеалами и () в пространстве Крейна. [39]
Оператор А линеен и DA - линеал, плотный в Я. [40]
Определение 1.14. В случае 8 6 линеал 8 называется невырожденным, в противном случае - вы-рожденным. [41]
Следствие 9.3. В пространстве Пх всякий положительный линеал равномерно положителен. [42]
Индекс N служит только для обозначения нового линеала и новой нормы. [43]
При переходе к рассмотрению нейтральных расширений нейтральных линеалов нам ( в соответствии со сказанным выше вслед за доказательством предложения 8.3) понадобятся еще теорема 8.2, а также пе сформулированный нами аналог 8.7 предложения 8.7 для неположительных линеалов. [44]
Положительные и отрицательные линеалы объединяются общим названием дефинитные линеалы. [45]