Cтраница 3
Я имею обыкновение задавать в этой связи вопрос, можно ли бросать не одну кость четырежды, а четыре кости сразу, и спрашиваю, что при этом означает хотя бы один раз. В традиционном курсе обычно не подчеркивают, что задачи теории вероятностей обычно можно интерпретировать различным образом. Чтобы вжиться в применение теории вероятностей, учащийся должен научиться видеть в различных словесных формулировках истинную суть проблемы. Изоморфизм проблем является в математике столь же важным, как и их математическая сущность, - и этому можно научиться не на формальных определениях, а лишь практически столкнувшись с подобными изоморфными задачами. [31]
К 20 - 30 годам относится и зарождение математической статистики как отдельной математической дисциплины. В определенном смысле математическая статистика занимается задачами, обратными к задачам теории вероятностей. Если основная цель теории вероятностей - подсчет вероятностей сложных событий для данной вероятностной модели, то математическая статистика ставит перед собой обратную задачу - выявление структуры вероятностно-статистических моделей по результатам наблюдений за теми или иными сложными событиями. [32]
К 20 - 30 годам относится и зарождение математической статистики как отдельной математической дисциплины. В определенном смысле математическая статистика занимается задачами, обратными к задачам теории вероятностей. Если основная цель теории вероятностей - подсчет вероятностей сложных событий для данной вероятностной модели, то математическая статистика ставит перед собой обратную - задачу - выявление структуры вероятностно-статистических моделей по результатам наблюдений за теми или иными сложными событиями. [33]
Задачи математической статистики являются, в некотором смысле, обратными к задачам теории вероятностей. Центральным понятием математической статистики является выборка. [34]
Математическая статистика выделяется из теории вероятностей в самостоятельную область, хотя основные методы и приемы рассуждений в ней остаются теми же самыми. Причиной этого является специфичность задач математической статистики, являющихся в известной мере обратными к задачам теории вероятностей. Если в теории вероятностей мы считаем заданной модель явления и производим расчет возможного реального течения этого явления, то в математической статистике мы исходим из известных реализаций каких-либо случайных событий, из так называемых статистических данных, которые обычно носят числовой характер. Математическая статистика разрабатывает различные методы, которые позволяют по этим статистическим данным подобрать подходящую теоретико-вероятностную модель. [35]
Наиболее общим методом изучения таких случайных величин является метод производящих функций. Как мы убедимся в дальнейшем, этот метод - частный случай метода характеристических функций, который служит основой для решения многих задач теории вероятностей. С более общей точки зрения метод производящих функций относится к области операционных методов, широко применяемых в теории дифференциальных и интегральных уравнений. В теории вероятностей производящие функции применялись со времен Муав-ра и Лапласа, но в полной мере возможности этого метода использовались редко. [36]
Точнее, случайные величины Xv и X 2, заданные на одном вероятностном пространстве ( Q, F, p) i наз. В большинстве задач теории вероятностей имеют дело не с самими случайными величинами, а с классами эквивалентных случайных величин. [37]
Эта простая задача является типичной для теории вероятностей. В данном параграфе мы будем решать задачи, в определенном смысле обратные. Задачи, обратные задачам теории вероятностей, очень важны для приложений, они составляют содержание математической статистики. Типичной для математической статистики применительно к схеме Бернулли является следующая задача. Предположим, что вероятность удачи р заранее неизвестна и нужно определить ее по наблюдениям за исходами испытаний, которые и представляют собой статистические данные. [38]
Благодаря устойчивости и близости частости WN ( A), полученной из длинной серии испытаний, к вероятности Р ( Л) частость может служить приближенной оценкой вероятности, тем более точной, чем больше число испытаний в серии. В свою очередь знание вероятности наступления события А позволяет предсказывать с той или иной точностью и надежностью его частости в предстоящих испытаниях, по крайней мере при больших N. Очень часто мы встречаемся на практике с таким положением, когда оценивать непосредственно вероятности интересующих нас событий крайне затруднительно, а иногда даже невозможно, но мы вместе с тем располагаем данными о вероятностях других, обычно простейших событий того же поля. Задача теории вероятностей как раз и заключается в том, чтобы, зная вероятности некоторых простейших событий, полученные из опыта или теоретических допущений относительно природы данного процесса, получить путем анализа и вычислений вероятности интересующих нас сложных событий, а значит, тем самым иметь возможность предсказывать частости этих событий при массовом производстве испытаний. [39]
В этом разделе учебника для 9-го класса вероятность события была определена как отношение числа благоприятствующих ему случаев к общему числу исключающих друг друга случаев. С такими задачами теории вероятностей мы знакомы. [40]