Cтраница 4
В его работе предлагается постановка вариационной задачи для функций на контрольном контуре, состоящем из двух характеристик уравнений газовой динамики разных семейств. В этом случае функционал, выражающий сопротивление тела и некоторые дополнительные условия, выписывается явно. После определения функций на контрольном контуре остается решить задачу Гурса с известными функциями на характеристиках. Никольский [1] решил вариационную задачу об оптимальной форме тела вращения на основе линеаризованных уравнений газовой динамики, однако, основная идея этой работы применима и к точным уравнениям. [46]
Математическая задача определения решения гиперболических уравнений (1.12) по данным граничным значениям на отрезках характеристик носит название задачи Гурса или характеристической задачи Коши. Задача об определении распределения скоростей внутри криволинейного четырехугольника опять является задачей Гурса. [47]
После решения последовательности указанных краевых задач для системы уравнений ( 1) и ( 2) получаем поле линий скольжения в пластической области и жесткопластическую границу О В. В области AOD решаем смешанную краевую задачу с граничными условиями ( 9) на АО и ( 10) на OD. В области ADC решаем задачу Гурса по известным скоростям на линии скольжения AD и условиям ( 10) на CD. В области ABC решаем задачу Гурса по известным скоростям на линии скольжения АС и условиям ( 10) на В С. [48]
То есть мы имеем такое условие характеристичности. Такие комплексы прямых, для которых имеется характеристичность ( когда можно вычислить оператор первого порядка по ограничению на эти прямые) называют допустимыми комплексами. Для них может быть решена задача Гурса, а не задача Коши, как в общем случае. [49]
Решая вариационную задачу для осесимметричных течений в линейной постановке, Никольский вводит контрольный контур из характеристик первого и второго семейств, проходящих, соответственно, через переднюю и заднюю точки искомого контура. При этом характеристика первого семейства полностью известна, а вариационная задача ставится для функций на характеристике второго семейства. Сама вариационная задача оказывается одномерной, а исследуемый функционал относится к хорошо изученному типу. После определения искомых функций на характеристике второго семейства течение около искомого контура находится решением задачи Гурса. Искомый контур является линией тока найденного течения. Таким образом, подход Никольского избавляет от необходимости предварительного решения задачи обтекания произвольного контура и приводит лишь к необходимости решения конкретной задачи Гурса. [50]