Cтраница 3
Другая разновидность корреляционных методов - метод моментов - заключается в применении операции осреднения непосредственно к стохастическим уравнениям движения. В случае линейной системы этот метод позволяет получить замкнутую систему уравнений для моментов искомых функций. В случае нелинейной или параметрической задачи получить такую замкнутую систему не удается. Для решения задачи приходится вводить некоторые статистические гипотезы, в соответствии с которыми корреляционные моменты более высокого порядка выражаются через моменты низшего порядка. Таким способом усекают бесконечную последовательность уравнений для моментов. [31]
В сущности, это является частным случаем метода максимального правдоподобия для гауссовского распределения погрешностей. Применительно к оценке среднего значения по выборке это сводится к условию min 2 ( я - - а) 2, которое дает оценку а к. Метод наименьших квадратов широко применяется в более сложных параметрических задачах, например при построении функциональных зависимостей, поэтому он подробно излагается в гл. [32]
Подавляющее большинство методов построения множества эффективных решении основано на тех или иных условиях оптимальности. Чаще всего используются необходимые условия, состоящие в том, что если точка хй эффективна ( в том или ином смысле), то она является решением задачи максимизации или минимизации ( возможно, при некоторых дополнительных ограничениях) числовой функции специального вида при надлежащим образом назначенных величинах параметров, входящих в эту функцию и ( или) ограничения. Следовательно, задача выделения всех эффективных решений сводится к соответствующей скалярной параметрической задаче математического программирования. Если используемые условия оптимальности являются и достаточными, то множество решений параметрической задачи является искомым множеством эффективных решений. В противном случае построенное путем скаляризации множество может содержать лишние точки, которые следует выявить и отсеять. [33]
Для ее корректной сильной разрешимости нужна дополнительная априорная информация. Когда координатизирующее множество 0 конечно, задачу статистической точечной оценки называют задачей проверки ( нескольких простых) гипотез. Когда законы PQ гладко зависят от конечномерного векторного параметра, говорят о параметрической задаче оценивания. Основное внимание в этой книге уделяется случаю, когда такое априорное семейство Р законов может быть гладко запараметризовано только счетным числом вещественных координат. Наконец, семейство Р может быть столь обширно, что оно не допускает даже счетномерной гладкой параметризации. Так будет, например, когда известно лишь, что координаты наблюдаемой двумерной случайной величины независимы ( друг от друга), и ничего более. По традиции обе последние постановки объединяют под названием задачи непараметрического оценивания, хотя они резко отличаются и по подходам, и по методам решения. В частности, последняя задача корректна лишь в слабом смысле. Приведенный перечень не дает, разумеется, исчерпывающей классификации всех возможных постановок задачи с.т.о. Мы указали лишь наиболее важные из них, расположив их в порядке убывания априорной информации и вытекающего отсюда убывания точности решения. Так, при проверке простых гипотез вероятность ошибки убывает экспоненциально, в конечно-параметрической задаче с.т.о. погрешность в значении параметра и закона имеет порядок TV 1 / 2, а в счетно-параметрической порядок убывания не достигает и этой величины. Как мы уже отмечали, именно последняя задача и связанные с нею аспекты конечно-параметрической задачи являются предметом нашего рассмотрения. [34]
Непосредственной причиной возбуждения колебаний в этом случае является периодическое изменение жесткости во времени. Эти колебания можно трактовать и как параметрически возбуждаемые колебания, и как автоколебания. В неподвижной системе координат поведение вала описывается, как в других параметрических задачах, дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Если использовать систему координат, вращающуюся вместе с валом, то получим дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. [35]
Подавляющее большинство методов построения множества эффективных решении основано на тех или иных условиях оптимальности. Чаще всего используются необходимые условия, состоящие в том, что если точка хй эффективна ( в том или ином смысле), то она является решением задачи максимизации или минимизации ( возможно, при некоторых дополнительных ограничениях) числовой функции специального вида при надлежащим образом назначенных величинах параметров, входящих в эту функцию и ( или) ограничения. Следовательно, задача выделения всех эффективных решений сводится к соответствующей скалярной параметрической задаче математического программирования. Если используемые условия оптимальности являются и достаточными, то множество решений параметрической задачи является искомым множеством эффективных решений. В противном случае построенное путем скаляризации множество может содержать лишние точки, которые следует выявить и отсеять. [36]
Естественно выделяется также класс счетно параметрических задач, когда априорное семейство Р гладко описывается счетным числом параметров, но для задания Р Е Р с фиксированной точностью достаточно лишь конечного числа из них. Например, априорная информация о наличии у Р достаточно гладкой плотности выделяет семейство Р указанного типа. Наиболее интересны ( см. [25]) компактные экспоненциально выпуклые семейства Р, хорошо аппроксимируемые экспонентными семействами. Заметим, что впервые развитый в [26] систематический подход к выпуклой счетно параметрической задаче статистической точечной оценки на основе концепции поперечников [27] позволяет строить для этой задачи решающие правила, оптимальные по порядку убывания риска. [37]
Этот метод использует известные идеи Крылова-Боголюбова в теории нелинейных колебаний. Если исследуемый колебательный процесс имеет узкополосный спектр, то уравнения движения могут быть усреднены за период колебаний. Затем применяют либо корреляционную теорию, либо теорию марковских процессов. Подробное изложение метода усреднения применительно к случайным функциям содержится в монографии [27], где рассмотрено большое количество нелинейных и параметрических задач. [38]
Четвертое направление связано с методом математического программирования. Укажем здесь на разработанный метод вариации точек переключения, предназначенный для поиска оптимальных управлений в классе кусочно-постоянных функций. Наиболее отчетливо особенности рассматриваемого направления проявляются в методе редукции исходной бесконечной задачи к конечномерной задаче нелинейного программирования. В данной работе приведены убедительные примеры эффективности этого подхода. Отметим, кроме того, что преимущества направления очевидны для параметрических задач оптимального управления. Таким образом, все методы четвертого направления могут быть рекомендованы для решения рассматриваемой задачи оптимального управления. [39]
Сортность и качество нефтепродуктов, необходимых нефтебазам для обеспечения тяготеющих IK ним потребителей, диктуют номенклатуру производства этих нефтепродуктов на НПЗ. При равномерном производстве на НПЗ в осенне-зимний период образуются излишки светлых нефтепродуктов, а в весенне-летнее время нехватка их. МСХ) нефтепродуктов, накапливаемых в осенне-зимний и расходуемых в весенне-летний периоды, имеет большое народнохозяйственное значение. Для решения экономико-математической задачи выбора МСХ нефтепродуктов предложен эвристический метод, базирующийся на многократном нахождении максимального потока в сети специальной структуры, в сочетании с методом случайного поиска, а также точный метод - решение сетевой параметрической задачи. [40]
Однако никогда не следует пугаться кажущихся трудностей. Читатель уже понял, что необходимые условия имеют в лучшем случае только эвристическую ценность, если они не подкреплены теоремами существования. При новой формулировке они не понадобятся нам даже в качестве наводящих соображений, так как наши рассуждения будут очень близки к методу характеристик Коши. Тем самым по отношению к достаточным условиям следует предпочесть новую формулировку. К тому же она позволяет нам быть более экономными в смысле гладкости: вместо трехкратной дифференцируемости функции L мы требуем лишь наличия непрерывных вторых производных у Н, и, кроме того, требование невырожденности матриц Lik или Нуу становится менее существенным. Мы сможем охватить даже некоторые случаи, когда L не будет непрерывно дифференцируемой, например случай, когда L имеет вид tp ( /, x) ty ( x), где Ф - дважды непрерывно дифференцируемая функция, а гр ( г) равна наибольшему из значений г2, 2 - г2, или когда в параметрической задаче L имеет индикатрису наподобие фигуры F, изображенной на рисунке в § 24 гл. [41]
Это скопление называют кластерами. В зависимости от априорных предположений о свойствах сигналов, принадлежащих одному кластеру, возможна та или иная постановка задачи КА. Одна из постановок заключается в следующем. Дано семейство решающих функций и обучающая выборка, представляющая собой множество точек в евклидовом - пространстве без указания их принадлежности к тому или иному классу. Необходимо выбрать такую решающую функцию из данного семейства, которая разбивает выборки на подвыборки так, чтобы сумма квадратов расстояний между всевозможными парами точек, принадлежащих одной подвыборке, были минимальной. В соответствии с другой возможной постановкой задачи каждый кластер описывается распределением вероятностей сигналов, которое зависит от параметре, причем значения этих параметров известны. Дана выборка, в когорой смешаны сигналы из различных кластеров. По этой выборке необходимо оценить параметры всех распределений, чтобы затем найти решающую функцию. Эта задача является частным случаем параметрической задачи самообучения распознавания образов, поскольку при самообучении рассматривают любые распределения, а в случае КА естественно рассматривают только унимодальные распределения, т.е. имеющие единственный максимум плотности вероятности в центре кластера. Разработаны различные итерационные алгоритмы решения этой задачи. [42]