Cтраница 2
В настоящей главе метод сведения задачи теории упругости к обобщенной по И. Н. Векуа краевой задаче Гильберта [1] распространяется на смешанную пространственную задачу для усеченного шара, сферическая поверхность которого жестко защемлена, а на срезе заданы нормальные напряжения, а также на аналогичную задачу для полупространства со сферической выемкой или выступом. Системы функциональных уравнений этих задач преобразуются к системам сингулярных интегральных уравнений. Затем рассматриваются контактные задачи о вдавливании кругового в плане штампа в срез усеченного шара или кольцевого штампа в плоскую часть поверхности полупространства, интегральные уравнения которых в предположении геометрической симметрии области контакта сводятся при помощи метода парных уравнений к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. [16]
Общий метод сведения смешанной краевой задачи к задаче Римана с разрывными коэффициентами был применен впервые Ф. Д. Гаховым в 1941 г. в работе 2) как иллюстрация к доказанной там сводимости краевой задачи Гильберта к задаче Римана. [17]
Общий метод сведения смешанной краевой задачи к задаче Римана с разрывными коэффициентами был применен впервые Ф. Д. Гаховым в 1941 г. в работе 1) как иллюстрация к доказанной там сводимости краевой задачи Гильберта к задаче Римана. [18]
Краевая задача Гильберта может быть сведена к краевой задаче Римана. [19]
Эта краевая задача, очевидно, совпадает со сформулированной выше. Известно H8j, что краевая задача Гильберта при определенных условиях сводится к краевой, задаче Римана. [20]
При этих значениях i ( s) формула ( 36.37) дает функцию F ( z), тождественно равную нулю. Отсюда следует, что число решений краевой задачи Гильберта на т - 1 меньше числа решений соответствующего интегрального уравнения. [21]
При этих значениях i ( s) формула ( 36.37) дает функцию F ( z тождественно равную нулю. Отсюда следует, что число решений краевой задачи Гильберта на т - 1 меньше числа решений соответствующего интегрального уравнения. [22]
Для нетривиального случая а необходимо рассмотреть задачу о разрезе в срединной полуплоскости клина [45, 47], связанную с поставленной выше контактной задачей. Тогда при помощи решения вспомогательной обобщенной по И. Н. Векуа краевой задачи Гильберта может быть установлена следующая теорема. [23]
В результате от граничных условий ( 60) придем к обобщенной по И. Н. Векуа краевой задаче Гильберта, в которой функциональные уравнения со сдвигом могут быть сведены к одному интегральному уравнению Фредгольма второго рода относительно вспомогательной функции Ф5 ( 0 входящей затем в выражения для напряжений и перемещений в клине. [24]
Обозначим через k, Г соответствующие числа для союзных интегрального уравнения и задачи Гильберта. Согласно равенству () каждому решению союзного интегрального уравнения ( 36.39) соответствует определенное ( ненулевое) решение союзной краевой задачи Гильберта. [25]
Обозначим через k, / соответствующие числа для союз - ных интегрального уравнения и задачи Гильберта. Согласно равенству ( - х -) каждому решению союзного интегрального уравнения ( 36.39) соответствует определенное ( ненулевое) решение союзной краевой задачи Гильберта. [26]
Задачи II и III могут быть решены аналогичными приемами. Укажем только, что, так же как и в рассмотренных задачах I, IV, удается ввести такие вспомогательные аналитические функции, что краевая задача для полианалитических функций превращается в п краевых задач Гильберта относительно этих функций. Затем функции фр ( г), входящие в представление искомой полианалитической функции, определяются через найденные вспомогательные аналитические функции. [27]
Задачи II и III могут быть решены аналогичными приемами. Укажем только, что, так же как и в рассмотренных задачах I, IV, удается ввести такие вспомогательные аналитические функции, что краевая задача для полианалитических функций превращается в п краевых задач Гильберта относительно этих функций. Затем функции ур ( г), входящие в представление искомой полианалитической функции, определяются через найденные вспомогательные аналитические функции. [28]
Отметим ее работы 3), 4), где решены некоторые краевые задачи для дифференциальных уравнений смешанного ( эллиптико-гиперболического) типа, и в особенности работу 5), содержащую решение в замкнутой форме через авто-морфпые функции краевой задачи Гильберта для некоторых многоугольников, ограниченных дугами окружностей. [29]
Геометрическое преобразование инверсии в пространстве связывает клин и сферическую линзу. В работах [43, 50, 56] показывается, что схожи и математические методы решения задач теории упругости для этих тел. В [50] метод сведения задачи теории упругости к обобщенной по И. Н. Векуа краевой задаче Гильберта распространяется на смешанную пространственную задачу для усеченного шара, сферическая поверхность которого жестко защемлена, а на срезе заданы нормальные напряжения, а также на аналогичную задачу для полупространства со сферической выемкой или выступом. Системы функциональных уравнений этих задач преобразуются к системам сингулярных интегральных уравнений. Излагаемая методика применима к исследованию задач для произвольной упругой сферической линзы, т.е. тела, образованного пересечением двух сфер разного радиуса. [30]