Cтраница 3
Из выпуклости f ( x) следует выпуклость множества Ес, а из полунепрерывности снизу f ( x) согласно лемме 8.1 следует замкнутость множества Ес. [31]
В этих работах, как и в теореме 4.2.3, было доказано, что выпуклость соответствующих множеств является необходи - мым и достаточным условием замкнутости множества всех решений. [32]
Так как эта последовательность, очевидно, является ограниченной, то из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, предел которой а, в силу замкнутости множества Л, в нем содержится. Но тогда, учитывая непрерывность функции р ( а, Ь), имеем р ( а, Ь) р, причем р00, так как а еЛ, а точка Ь по условию не принадлежит этому множеству. Это завершает доказательство леммы. [33]
Таким образом, доказательство каждого из утверждений ( 1), ( 2) сводится к проверке того, что почти слабая замкнутость векторного подпространства М влечет слабую замкнутость множества L. Так как пространство Е совершенно ( или 5Г -) полно, то достаточно доказать почти слабую замкнутость множества L. По УСЛОВИЮ множество V - u ( U) есть окрестность нуля в F, поэтому множество М П V0 слабо замкнуто. Можно считать, что окрестность U выпукла, уравновешена и замкнута. [34]
В качестве еще одного предложения, установленного Бэром с обращением к существованию числа второго класса, большего всех чисел заданной последовательности порядковых чисел первого и второго классов, можно указать бэровскую теорему о замкнутости множества функций всех классов его классификации относительно операции предельного перехода всюду ( с. [35]
Если множество Qs непусто, но ограничено, то оно необходимо замкнуто. Это следует из замкнутости множества Q ( Y) ID Qs, а также из определяющего равенства для особых точек X2 ( х, у) У2 ( х, у) 0, где функции Х ( х у) и Y ( x y) непрерывны. Однако может быть, что в fi ( v) содержится одна или несколько регулярных предельных характеристик Г, которые, естественно, незамкнуты. [36]
Но множества Fk попарно не пересекаются. Fk и, в силу замкнутости множества Fk, точка х0 не является и предельной точкой этого множества. [37]
Выше было дано ( см. определение 8) понятие относительно открытого и относительно замкнутого множества. Подчеркнем еще раз, что понятия открытости или замкнутости множества относительны в том смысле, что одно и то же множество может быть открытым в одном пространстве и не быть открытым в другом метрическом пространстве, содержащем первое. [38]
К языкам, как и ко всяким множествам, могут быть применены различные операции. Прежде чем рассматривать операции над языками, определим свойство замкнутости множества. Говорят, что множество замкнуто относительно некоторой операции, если результат применения ее к любому элементу множества или к любой паре элементов содержится в этом множестве. [39]
Из доказанных свойств множества F следует ( так как с есть период), что все числа тс, где т - целое, также являются периодами. Таким образом, произвольное число с0 является предельным для множества F, и потому, ввиду замкнутости множества F, STO множество совпадает с множеством всех действительных чисел. [40]
Руффини ( 1799 и позднее), посвященных доказательству неразрешимости уравнения 5 - й степени в радикалах, систематически используется замкнутость множества подстановок относительно их умножения и, по существу, описаны подгруппы всех подстановок пятя символов. [41]
Определив опять понятие точки конденсации ( с. Сначала при помощи метода последовательных делений области, содержащей рассматриваемое множество Р, доказывает существование хотя бы одной точки конденсации; затем устанавливает замкнутость множества точек конденсации; далее, методом Фрагмена обнаруживает счет-ность множества точек из Р, не являющихся точками коденсации; наконец, находит, что множество точек конденсации не содержит изолированных точек, а значит, совершенно. В отношении цермеловости это доказательство таково же, как и предыдущее. [42]
Рассмотрим подлинно эффективные оценки и решения. В предыдущем параграфе ( см. теорему 1.16) равенство множеств подлинно и собственно эффективных точек было установлено при определенных предположениях, среди которых было условие замкнутости множества У. Как показывает нижеследующая теорема, в случае эффективно выпуклого ( и не обязательно замкнутого) У равенство указанных множеств всегда имеет место. [43]
Это значит, что аффинное отображение / имеет в этом случае обратное ему отображение f - также являющееся аффинным. Если невырожденное аффинное отображение f пространства R на пространство 5 трактовать как преобразование координат в пространстве R, при котором меняется понятие о расстоянии, то мы видим, что топологические свойства ( открытость и замкнутость множеств) не зависят от системы координат, через которую определяется расстояние между точками. [44]
To же неравенство (3.31) означает, что сходимость последовательности gn ( x), n l, равномерна по x ( -) Vi. Поэтому, согласно свойству ( а), отображение g: tt - Li ( T, X) непрерывно. Учитывая замкнутость множества ( х) и (3.30), получаем, что g ( x) ( x) для каждого я ( -) и. [45]