Cтраница 4
Множество f ( AV) ( f A) ( AV) замкнуто в Y f ( A) t поэтому множество f - lf ( AV) AV замкнуто в X. У, это доказывает замкнутость множества А в X, и мы получили противоречие. [46]
Из этих представлений вытекает, что функция ( Etf, f) абсолютно непрерывна и что абсолютно непрерывная часть функции ( Etg, g) есть нуль. Поэтому элементы f и g в представлении ( 4) принадлежат соответственно На и Hs. Hs вытекает линейность и замкнутость множеств Н и Hs. Тем самым доказательство теоремы закончено. [47]
Если край dS пуст, то множество S является, очевидно, поверхностью без края. Иногда вместо термина поверхность без крада употребляется термин ( замкнутая поверхность. Здесь замкнутость понимается не в смысле замкнутости множества, а именно в смысле отсутствия края. [48]
Таким образом, функция Fy переводит точки из в его выпуклые непустые подмножества. Остается проверить, что Fy ft - замкнутое отображение. Fe е Fy ( K0) П - Теперь из теоремы 3.6 следует, что у FY ft есть хотя бы одна неподвижная точка, а на предложения 3.7 - замкнутость множества всех таких точек. [49]
Замечание 4.8. Во введении мы построили множество комплексных чисел С как расширение множества действительных чисел, в котором разрешимо любое квадратное уравнение. Может показаться, что для разрешимости уравнений более высоких степеней понадобится раз за разом расширять множество С. Однако оказывается, что больше никаких новых расширений не нужно. Корни многочлена какой угодно степени принадлежат множеству С, и, значит, новых чисел, не входящих в С, для решения не требуется. Это свойство называется алгебраической замкнутостью множества комплексных чисел. [50]