Cтраница 4
Сакс [244] и другие обобщили схемы стохастической аппроксимации на многомерный случай. Кратко опишем не только многомерный аналог процедуры Кифера - Вольфовица оптимизации одноэкстремальной функции регрессии, но и многомерный аналог схемы Роббинса - Монро. [46]
В главе 3 мы уже встретились с важным обстоятельством: некоторые уравнения, описывающие движение механических систем, могут интерпретироваться как гамильтоновы системы ( векторные поля) на подходящих алгебрах Ли. Здесь мы подробнее познакомимся с этим эффектом, позволяющим, оказывается, интегрировать многие интересные и важные механические системы и их многомерные аналоги. Поскольку сегодня разработано много методов интегрирования, то мы не в состоянии здесь дать даже краткого изложения всех этих направлений. Поэтому мы отсылаем читателя к списку литературы в конце книги. [47]
ФИГУР МНОГООБРАЗИЕ - многообразие, образующими элементами к-рых являются различные фигуры рассматриваемого однородного пространства. Поэтому в основном исследовались многообразия ( как правило, в евклидовом, аффинном и в проективном пространствах), образующими элементами к-рых являются точки, прямые линии, плоскости, окружности, сферы, коники, квадрики и их многомерные аналоги. [48]
Физический смысл их таков: если бесконечную среду разрезать на две половины, то Ct является матрицей входных динамических жесткостей для правой половины, а - С г - аналогичной матрицей для левой половины. Они являются многомерными аналогами волновых импедансов в акустике ( с учетом множителя - г ю) и играют важную роль в теории отражения волн. [49]
Монография посвящена регулярному решению известной проблемы Минковского о существовании замкнутой выпуклой гиперповерхности с заданной гауссовой кривизной, а также ряду вопросов геометрии и теории дифференциальных уравнений с частными производными, примыкающих к этой проблеме. В частности, здесь рассматривается общая проблема существования замкнутой выпуклой гиперповерхности с заданной функцией кривизны любого порядка. Изучаются обобщенные решения многомерного аналога уравнения Монжа - Ампера, при известных условиях доказывается их регулярность, решается задача Дирихле. Рассматриваются несобственные выпуклые аффинные гиперсферы и в случае их полноты доказывается, что все они являются эллиптическими параболоидами. Книга может быть рекомендована студентам, аспирантам и научным работникам в области геометрии и теории дифференциальных уравнений. [50]
Существуют также и - мерные разрезания, где размерность п может быть любой. Если п четно ( как в главах 1 - 22), то любой политоп ( м-мерный многогранник) можно с помощью разрезаний и перекладывания частей преобразовать в любой другой равновеликий исходному политоп. Этот политоп может являться и симплексом - многомерным аналогом треугольника и тетраэдра. Отсюда следует, что существуют РТ - и 7Т - разрезания, которые являются прямыми обобщениями соответствующей процедуры на случай 2т измерений, свободными от жестких ограничений трехмерного случая. [51]
С /, ( Г) является многомерным аналогом степенной функции, 0 ( х) - const при I дс I - , а последний множитель представляет собой ( с точностью до множителя 0 ( х)) многомерный аналог медленно меняющейся функции. Этот аналог зависит от I дс I и поэтому, по сути дела, является одномерной функцией. Однако уже известны задачи, в которых в силу их специфических особенностей следует использовать многомерные аналоги правильно меняющихся функций с существенно многомерной медленно меняющейся компонентой. Такой задачей, например, является анализ асимптотического поведения на бесконечности некоторых классов безгранично делимых распределений в Rn. Это указывает на необходимость продолжения поиска более естественных многомерных обобщений правильно меняющихся функций. [52]
Если число факторов и вид уравнения заданы, тогда размер-4 ность пространства параметров определяется однозначно. Каждой точке в таком пространстве соответствует вектор оценок коэффициентов, а определитель матриц); дисперсий-ковариаций пропорционален объему эллипсоида рассеяния оценок параметров. Причем центр эллипсоида совмещен с МНК оценкой. Эллипсоид является многомерным аналогом обычного доверительного интервала. Для одномерного пространства параметров он вырождается в отрезок, который и есть доверительный интервал. На плоскости ( когда имеется два параметра) получится эллипс. Эллиптическая форма доверительного интервала связана с предпосылкой регрессионного анализа о нормальном распределении. [53]