Cтраница 3
Закрепление некоторой частицы означает разбиение системы на невзаимодействующие части. Для каждой такой части может быть построен свой ансамбль Гиббса. При закреплении s частиц возникает s 1 ансамбль - по числу частей, на которые распадается первоначальная система. При этом функции распределения факторизуются по подпространствам. [31]
Тогда р является плотностью вероятности такого события. Нормированная на единицу, она называется функцией распределения по ансамблю Гиббса. [32]
Сегодня имеется обширная литература, в которой излагаются конкретные вопросы теории неравновесных процессов. Однако, в отличие от равновесной статистической механики, основанной на универсальном методе ансамблей Гиббса, существует большое число различных подходов к неравновесным системам. Поскольку детали микроскопических взаимодействий тесно связаны с неравновесными свойствами многочастичных систем, может показаться, что общий статистический подход к необратимым процессам вообще невозможен. Как следствие такой точки зрения, во многих недавно изданных книгах отсутствует изложение неравновесной статистической механики как таковой. Вместо этого проводится мысль, что различные явления требуют различных подходов. Тем не менее, фундаментальная идея статистических ансамблей Гиббса применима и к неравновесных системам, так что задача состоит в том, чтобы использовать эту идею в форме, пригодной для описания различных неравновесных процессов, в рамках единого метода. [33]
Наконец, покажем, как с помощью скобок Пуассона формулируется одно из основных уравнений статистической механики. Вероятность пребывания механической системы в элементарном фазовом объеме дГ определяется как отношение числа б Л систем ансамбля Гиббса, находящихся в 6Г, к постоянному числу JV всех систем этого ансамбля, наверняка находящихся в некотором фиксированном фазовом объеме АГ. [34]
Описание с помощью матрицы плотности является наиболее общей формой квантовомеханического описания. В этом случае матрица плотности или статистический оператор позволяет вычислять средние значения любых физических величин по ансамблю Гиббса. [35]
Наконец, следует сказать, что задача описания состояния системы путем осреднения по бесконечно большому времени является частной проблемой статистической механики и составляет предмет равновесной статистической термодинамики. В своей стандартной схеме рассуждений статистическая механика не имеет дела с осреднением по времени непосредственно, а использует осреднение по ансамблю Гиббса. В частном случае равновесной статистической термодинамики оба подхода считаются эквивалентными. Впрочем, совершенно строгого доказательства их эквивалентности пока не существует. [36]
В § 1 главы I даются простейшие понятия интуитивной теории вероятностей и метод ансамбля Гиббса в статистической механике, а также намечается связь между этими понятиями и физическим объектом, который будет в дальнейшем исследоваться. Именно глубокие идеи Гиббса позволяют рассматривать задачи вычисления средних значений физических величин как задачи о вычислении лебеговой меры состояний на множестве, носящем название ансамбля Гиббса. [37]
XN, t) лишь насильственно была нами связана с вероятностными представлениями. Мы могли бы рассматривать ее не как плотность вероятности для единичной системы с координатами г V, а как произвольно заданную в начальный момент времени функцию распределения для ансамбля систем - ансамбля Гиббса. [38]
Обобщенные координаты и обобщенные импульсы микрообъектов называются динамическими переменными. Как указывалось в начале § 1, для вычисления средних значений функций от динамических переменных следует пользоваться плотностями вероятности осуществления динамических состояний. Метод ансамбля Гиббса в принципе позволяет находить плотности вероятности динамических состояний термодинамически равновесной макроскопической системы. При взаимодействии парного типа функция Гамильтона задается формулой (1.5) и, очевидно, симметрична. [39]
Это означает, что плотность вероятности р ( р, q) является величиной постоянной вдоль фазовых траекторий и не зависит от импульсов и координат рк и qu, если последние изменяются в соответствии с уравнениями движения. Поэтому говорят о сохранении фазового объема при движении систем, принадлежащих ансамблю Гиббса, хотя при таком движении и происходит деформация объема ДГ. Сказанное не означает, что плотность вероятности - величина постоянная во всем фазовом пространстве. При движении молекул по законам механики постоянными остаются некоторые функции от импульсов и координат, которые называют интегралами движения. Важнейшим из таких интегралов движения является полная энергия. [40]
Это означает, что плотность вероятности р ( р, q) является величиной постоянной вдоль фазовых траекторий и не зависит от импульсов и координат ръ. Поэтому говорят о сохранении фазового объема при движении систем, принадлежащих ансамблю Гиббса, хотя при таком движении и происходит деформация объема ДГ. Сказанное не означает, что плотность вероятности - величина постоянная во всем, фазовом пространстве. При движении молекул по законам механики постоянными остаются некоторые функции от импульсов и координат, которые называют интегралами движения. Важнейшим из таких интегралов движения является полная энергия. [41]
Язык квазизастиц особенно удобен и адекватен физике явлений при отличной от нуля температуре. И в этом случае систему можно разбить на совокупность квазичастиц и квазичастичный вакуум ( конденсат), однако характеристики квазичастиц ( их масса) и вакуума ( плотность конденсата) явно зависят от температуры. При этом конденсат характеризуется величиной (), где скобки означают усреднение не по основному состоянию, а по ансамблю Гиббса. С ростом температуры конденсат начинает испаряться и величина ( ( р) уменьшается, обращаясь в нуль при температуре, большей некоторой критической температуры Тс. Возникает вопрос, не появляются ли при этом снова тахионы. Оказывается, что температурная зависимость квадрата массы скалярной квазичастицы такова, что как раз при Т Тс эта величина исчезает, становясь положительной в надкритической области. Последнее точно соответствует теории Ландау, в которой при Т Тс происходит изменение знака квадратичного по параметру порядка члена. [42]
Это равенство показывает также, что полная производная по времени какой-либо динамической величины равна сумме ее частной производной по времени и скобки Пуассона с гамильтонианом. Физическая причина сохранения фазовой плотности состоит в том, что все координаты и скорости полностью и навсегда определены своими значениями в произвольный момент времени. Поскольку канонические уравнения (7.16) являются уравнениями первого порядка по времени, то для каждого объекта системы они определяют единственную траекторию, проходящую через данную точку в шестимерном фазовом пространстве, а тем самым единственную траекторию для системы из ансамбля Гиббса в 6 N - мерном фазовом пространстве. Фазовые точки - не могут покидать ту область с изменяющейся во времени конфигурацией, которую они занимали в фазовом пространстве в начальный момент времени, а объем этой области в ходе эволюции ансамбля не меняется, поэтому фазовая плотность остается постоянной. [43]
Усреднение по всем локальным структурам дает картину строения жидкости, называемую диффузионно-усредненной, или D-структурой. Такое усреднение может быть выполнено двумя путями. В методе ансамблей Гиббса это соответствует усреднению по ансамблю. Статистически оба метода эквивалентны ( эргодическая гипотеза), однако, два указанных подхода дают несколько различные возможности при машинном моделировании жидких систем. [44]
Такую совокупность систем называют ансамблем Гиббса. В принципе можно определить столько различных ансамблей Гиббса, сколько существует различных способов контакта макроскопической системы с окружающей средой. [45]