Cтраница 3
Наряду с ней Любенским и Исааксоном [113, 114] для описания статистики разветвленных полимеров был предложен оригинальный вариант континуальной модели. Она соответствует рассмотрению линейных цепочек, сшитых полифункциональными единицами, все группы которых полагаются полностью прореагировавшими, а функция распределения координат всех звеньев такой же, как и у равновесного ансамбля с заданным числом П молекул и числами Nf / - функциональных звеньев. [31]
В дополнение к тепловому, дробовому и l / f - шуму, введенным выше, в следующих главах встретимся с различными другими типами шумов, включая генерационно-рекомбинационный ( г-р) шум, возникающий в результате случайного захвата носителей в полупроводниковых материалах, взрывной шум, лавинный шум вследствие ударной ионизации и неравновесный джонсоновский шум горячих электронов в сильных электрических полях. Некоторые из перечисленных явлений относятся к шумовым процессам, о которых мы уже говорили, например лавинный шум можно рассматривать как усиленную разновидность дробового шума, а джонсоновский шум горячих электронов, очевидно, является вариантом теплового шума, производимого равновесным ансамблем электронов. Прежде чем рассматривать новые типы шумов и устройств, с которыми они связаны, продолжим подготовку математического фундамента, необходимого для удовлетворительного теоретического обоснования свойств шумов и стохастических процессов. [32]
Распределения (18.12) и (18.13) относятся к телу, находящемуся в равновесии с термостатом, иначе, являющемуся сравнительно малой частью некоторой большой замкнутой равновесной системы. Они называются каноническим распределением Гиббса и большим каноническим распределением Гиббса. Характеризуемые ими равновесные ансамбли называются соответственно каноническим и большим каноническим. [33]
В квантовой статистике QN и S называют статистической суммой и большой статистической суммой. В каждом из трех равновесных ансамблей вероятности всех микросостояний с определенными Е и N одинаковы. Сравним сначала канонический ансамбль с микроканоническим. Обозначим через p ( dE) микроканоническое распределение, сосредоточенное в интервале dE энергии. Применим (14.5) и (17.6) к каноническому ансамблю, отождествив g ( E) с (18.1), a W ( E) с распределением энергии в этом ансамбле. [34]
Существенной особенностью всех указанных решений является возможность существования в ряде случаев когерентных состояний в развитом турбулентном потоке. Отметим, однако, что указанный гауссов равновесный ансамбль является естественным шумом для многих геофизических систем, описываемых в квазигеострофическом приближении, и он аналогичен тепловым шумам в статистической физике. [35]
Кроме этих прагматических соображений, есть и другое, гораздо более глубокое обоснование целесообразности разработки метода функций распределения. Метод статистических сумм, хотя он и весьма изящен, является совершенно замкнутым. При выводе выражений с помощью статистической суммы используется определенная функциональная форма равновесного ансамбля. Невозможно определить, скажем, неравновесную статистическую сумму. Напротив, представление о частичных функциях распределения применимо как для равновесных, так и для неравновесных систем. [36]
Приведенные выше рассуждения показывают, что энтропия Гиббса обладает тем же важным свойством аддитивности, что и термодинамическая энтропия. Кроме того, в разделе 1.3.7 мы увидим, что в равновесии гиббсовское определение энтропии (1.3.2) и (1.3.4) приводит к правильным термодинамическим соотношениям. Таким образом можно считать, что энтропия Гиббса полностью удовлетворяет требованиям к энтропии равновесных ансамблей. [37]
Поскольку и в каноническом и в микроканоническом ансамблях энтропия, конечно, зависит от Е, N и соответственно от Е, N, можем формально применять (19.6) и к этим ансамблям, заменяя N на N или Е, N на Е, N. Учитывая (18.31), (18.38) и (19.6), видим, что равенство энергий и чисел частиц, а также равенство внешних параметров ( подразумеваемое в (18.31), (18.38)), приводит в термодинамическом пределе к равенству остальных термодинамических величин тела во всех трех равновесных ансамблях. [38]
Это возможно, поскольку в идеальном газе нет взаимодействий, следовательно, система не является эргодической. Каждое значение еА есть интеграл движения, а их набор представляет собой полный набор коммутирующих наблюдаемых. При построении равновесного ансамбля предполагается, что матрица р полностью диагональна по отношению ко всем энергетическим квантовым числам. Это допущение является более сильным, чем то, которое использовалось в разд. [39]
Поскольку и в каноническом и в микроканоническом ансамблях энтропия, конечно, зависит от Е, N и соответственно от Е, N, можем формально применять (19.6) и к этим ансамблям, заменяя N на N или Е, N на Е, N. Учитывая (18.31), (18.38) и (19.6), видим, что равенство энергий и чисел частиц, а также равенство внешних параметров ( подразумеваемое в (18.31), (18.38)), приводит в термодинамическом пределе к равенству остальных термодинамических величин тела во всех трех равновесных ансамблях. Она означает, что функциональная зависимость между термодинамическими величинами макроскопического тела практически одинакова в различных равновесных ансамблях. Подчеркнем, что термодинамические величины, о совпадении которых идет речь, понимаются как имеющие определенное значение ( механическое или усредненно-статистическое) в каждом равно - весном состоянии. [40]
Этот постулат определяет так называемый микроканонический ансамбль и соответствующее микроканоническое распределение. Распределения Гиббса, описывающие статистическое равновесие при других внешних условиях, выводится затем из микроканонического распределения. Эта схема изложена во многих книгах по равновесной статистической механике, но, к сожалению, ее невозможно обобщить на неравновесные состояния. По этой причине мы рассмотрим другой способ построения равновесных распределений Гиббса, основанный на теории информации. Все эти распределения будут выведены из условия максимума информационной энтропии при дополнительных условиях, определяющих равновесный ансамбль. Мы покажем, что в равновесном случае максимум информационной энтропии совпадает с энтропией Гиббса и может быть отождествлен с термодинамической энтропией. Преимущество такого подхода перед традиционным заключается прежде всего в том, что он допускает интересные обобщения на неравновесные системы, и мы будем часто им пользоваться. [41]
Эта сложная задача решается авторами следующим образом. Книга разделена на две части. Первая часть посвящена подробному изложению современного состояния равновесной термодинамики. В ней после исторической справки о возникновении термодинамики как науки и развития основных ее концепций авторы детально анализируют различные формулировки основных ее законов и переходят к критическому разбору проблемы обоснования и аксиоматизации термодинамики. Здесь основное внимание уделено изложению аксиоматического подхода к макроскопической термодинамике, разработанного Тиссой, и строгой феноменологической теории равновесных ансамблей Гиббса, которая строится на макроскопических представлениях о состоянии системы и природе теплового равновесия и является в некотором смысле аналогом статистической механики Гиббса. [42]