Cтраница 3
Капланский обратил наше внимание на следующий ( тогда открытый) вопрос. Существуют ли конечные полугруппы, которые обладают нетривиальными антиавтоморфизмами и не обладают нетривиальными инволюциями. [31]
Найти условия, при которых на R существует антиавтоморфизм, отображающий х в - л; и оставляющий элементы из k неподвижными. [32]
Это дает две возможности для превращения множества EndM в кольцо. Тождественное отображение множества End M на себя является антиавтоморфизмом этих колец. [33]
Существенно также исключить из рассмотрения коммутативные полугруппы, так как их антиавтоморфизмы тривиальны. С помощью нашего подхода, детали которого описаны в разд. [34]
Таким образом, множество 3) ( 31) замкнуто относительно отображения D - Dp, так же как и относительно обычных операций алгебры Ли. Аналогично пусть 31 - ассоциативная алгебра и с - с - антиавтоморфизм в St. Как мы знаем, подмножество 8 a a. Кроме того, в случае, когда характеристика равна р, из условия а - - а следует, что ар ар - ( - а) р - - ар. Ли, замкнутую относительно - отображения. Только что рассмотренные системы 3) ( 31) и и являются примерами ограниченных алгебр Ли, которые будут определены нами абстрактно. [35]
Прежде чем переходить к рассмотрению алгебр Ли 3 ( ЭД, У), где J-инволюция первого рода, мы сформулируем некоторые хорошо известные результаты относительно инволюций в алгебрах линейных преобразований ( Джекобсон [3], гл. Тогда известно, что алгебра ( S имеет некоторую инволюцию А - AJ лишь в том случае, когда Д обладает антиавтоморфизмом d - d периода один или два. Если период равен единице, то rfsrf и из равенства dld d2dl следует, что Д коммутативно. [36]
Поскольку произведение гомоморфизмов является гомоморфизмом, то это множество оказывается кольцом с единицей, которое называется кольцом эндоморфизмов модуля М и обычно обозначается через End MR или просто End M. Это дает две возможности для превращения множества EndM в кольцо. Тождественное отображение множества EndTW на себя является антиавтоморфизмом этих колец. [37]
Проведенные вручную рассуждения показывают, что демодуляторы действительно работают нужным образом. Так, например, чтобы исключить коммутативность, всякий нетривиальный антиавтоморфизм должен иметь четный порядок. Кроме того, он не может быть порядка 2, так как тогда нельзя исключить инволюции. Далее, имея четыре образующих, мы могли бы рассмотреть антиавтоморфизмы, которые их зацикливают. [38]
Один процесс, используя представление полугруппы образующими и соотношениями, пополняет множество соотношений, причем в эту полугруппу встраивается определенный антиавтоморфизм. Другой процесс показывает, что некоторое заданное на образующих отображение не может быть продолжено до инволюции всей полугруппы. [39]
Первый процесс поиска завершает серию экспериментов по построению полугруппы с требуемой комбинацией свойств. Исходя из данного минимального множества соотношений, он порождает совокупность демодуляторов, достаточную для построения ( если это необходимо) списка элементов и таблицы умножения. Используются два правила вывода: парамодуляция - для проверки соответствия между аксиомами и имеющимися соотношениями и гиперрезолюция с определенным ядром - для того, чтобы наложить требуемый антиавтоморфизм на эти соотношения. Входными дизъюнктами были следующие. [40]
По определению J есть антиавтоморфизм периода два алгебры ЭД. Множество S ( ЭД, У) У-кососимметричных элементов ( а - - а) есть подмножество неподвижных элементов относительно автоморфизма - J. Антиавтоморфизм J индуцирует автоморфизм в центре d алгебры, который либо тождествен, либо периода два. [41]
Антиавтоморфизм нетривиален, если он не является тождественным. Нетривиальная инволюция - это нетривиальный антиавтоморфизм, квадрат которого тождествен. Если существование нетривиального антиавтоморфизма влечет за собой существование нетривиальной инволюции, то методом решения задачи является стандартный поиск доказательства. [42]
Регулярное кольцо с положительной инволюцией называется - регулярным. Каждый главный правый [ левый ] идеал - регулярного кольца R порождается однозначно определенной проекцией. Любое - регу-лярное кольцо является - риккартовым, а если решетка его главных левых [ правых ] идеалов полна, то и - бэровским. Отображение, ставящее в соответствие каждой проекции е проекцию 1 - е, оказывается антиавтоморфизмом решетки проекций. [43]
Регулярное кольцо с положительной инволюцией называется - - - регулярным. Каждый главный правый [ левый ] идеал - регулярного кольца R порождается однозначно определенной проекцией. Любое - регулярное кольцо является - риккартовым, а если решетка его главных левых [ правых ] идеалов полна, то и - бэровским. Отображение, Ставящее в соответствие каждой проекции е проекцию 1 - е, оказывается антиавтоморфизмом решетки проекций. [44]
Проведенные вручную рассуждения показывают, что демодуляторы действительно работают нужным образом. Так, например, чтобы исключить коммутативность, всякий нетривиальный антиавтоморфизм должен иметь четный порядок. Кроме того, он не может быть порядка 2, так как тогда нельзя исключить инволюции. Далее, имея четыре образующих, мы могли бы рассмотреть антиавтоморфизмы, которые их зацикливают. [45]