Cтраница 2
В предыдущей главе было доказано, что аксиома параллельности независима от остальных аксиом евклидовой геометрии. Отсюда следует, что, заменив эту аксиому ее отрицанием, мы получим также логически непротиворечивую систему. Геометрия, основанная на этой системе аксиом, называется геометрией Лобачевского. [16]
Указать несколько теорем, при доказательстве которых используется аксиома параллельности. [17]
Пятая группа аксиом состоит из одной аксиомы - аксиома параллельности. [18]
Это означает, что в рассматриваемой нами модели справедлива аксиома параллельности Лобачевского. [19]
Таким образом, в отличие от аксиомы Архимеда, аксиома параллельности не является существенной для справедливости теоремы Бойяи - Гервина. [20]
Примером такого исследования является установленный нами факт, что аксиома параллельности V не является следствием остальных аксиом. [21]
Однако, в отличие от аксиомы Архимеда, применение аксиомы параллельности не является неизбежным: в неевклидовых геометриях Лобачевского и Римана теорема Бойяи - Гервипа остается справедливой. Изложению указанных результатов и посвящен этот параграф. [22]
Верны ли теоремы (24.6) и (24.10), если в аксиоме параллельности опустить условие симметричности. Более общо, следует ли первая часть аксиомы параллельности из второй ее части. [23]
Пятый постулат Евклида не совпадает дословно с указанной выше аксиомой параллельности, но представляет собой предложение, эквивалентное ей. Об этом евклидовом постулате Клейн говорит на с. [24]
Легко видеть, что для прямых на аффинной плоскости выполняется аксиома параллельности евклидовой геометрии. [25]
Прямое риманово пространство, которое имеет выпуклые сферы и удовлетворяет аксиоме параллельности, является евклидовым пространством. [26]
С современной точки зрения представляется более важным отделить в аксиоматике не аксиому параллельности, а аксиомы, описывающие афинную геометрию. [27]
Читатель, знакомый с геометрией Лобачевского, немедленно обнаружит в этом аксиому параллельности Лобачевского. [28]
Если универсальная накрывающая плоскость Р тора прямая, то Р удовлетворяет аксиоме параллельности. [29]
Исходным пунктом послужил здесь преимущественно тот ее результат, согласно которому евклидова аксиома параллельности логически независима от предшествующих ей аксиом геометрии ( с. Так возникла современная геометрическая аксиоматика, следующая в своих изысканиях в точности тем путям, которые были намечены предыдущими исследованиями: стараются установить, какие части геометрии можно построить без применения части аксиом, а также можно ли, заменяя одну какую-нибудь определенную аксиому ей противоположной, прийти к логически непротиворечивой системе - к одной из так называемых псев догеометрий. [30]