Cтраница 3
Особенностью аксиоматики Гильберта является также специальная роль, которую в ней играет аксиома параллельности V. [31]
Самостоятельное аксиоматическое построение метрической геометрии позволило бы показать при более позднем введении аксиом параллельности, что здесь возможно разветвление и появление других геометрий, в частности, геометрии Лобачевского ( см. кн. III, гл. Наиболее существенные свойства векторного евклидового метрического пространства приведут нас к выбору трех аксиом, очень наглядных и достаточно сильных, чтобы немедленно получить свойства равнобедренного треугольника и теорему Пифагора. Они позволяют быстро найти те основные положения, на которых легко построить элементарную геометрию, называемую синтетической, в противоположность геометрии аналитической. [32]
Тем самым мы завершили доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского и одновременно показали, что аксиома параллельности V Евклида не является следствием аксиом I, 1 - 3, II-IV абсолютной геометрии. [33]
Тем самым мы завершили доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского и одновременно показали, что аксиома параллельности V Евклида не является следствием ак сиом I, i - 3, II-IV абсолютной геометрии. [34]
При изучении в школе свойств сторон и углов параллелограмма мы, основываясь на аксиоме параллельности, доказываем теорему о равенстве противоположных сторон и в виде следствия получаем предложение. Параллельные прямые везде одинаково удалены друг от друга. Наоборот, из последнего легко выводится аксиома параллельных по Гильберту, которая, как было выше показано, эквивалентна V постулату. [35]
Очевидно, в первом случае выполняется аксиома параллельности Евклида, а во втором - аксиома параллельности Лобачевского. [36]
В пространстве Л выполняются все те же аксиомы, что в Еп, с заменой аксиомы параллельности на противоположную, а в Ап - все аксиомы Е за вычетом аксиом конгруэнтности, вместе с к-рыми исключается и само понятие конгруэнтности. Аналогично, изменением аксиом сочетания можно определять - мерное проективное пространство Рп. [37]
Если же А, С, Е лежат на одной прямой, то указанное свойство следует из аксиомы параллельности. Общий случай сводится к рассмотренному частному случаю путем введения равных вспомогательных векторов описанной выше конструкцией. [38]
Следует отметить, что доказательство Лежандра, опирающееся на теорему Пифагора, тем самым основывается и на аксиоме параллельности Евклида. В отличие от Лежандра Евклид и Коши излагают доказательства, принадлежащие абсолютной геометрии. [39]
Если прямая плоскость допускает непрерывную нерас-пространимую угловую меру с нулевым угловым избытком, то в этой плоскости удовлетворяется аксиома параллельности. [40]
Согласно общему приему доказательства независимости аксиом, указанному в § 4, нам достаточно построить такую реализацию системы аксиом евклидовой геометрии без аксиомы параллельности, в кото рой аксиома параллельности не выполняется. [41]
Наконец, могут существовать все переносы вдоль д, и все эквидистанты для g могут быть прямыми в дезарговой плоскости, не удовлетворяющей аксиоме параллельности. [42]
Система аксиом, данная Гильбертом, состоит из пяти групп: аксиомы связи, аксиомы порядка, аксиомы конгруэнтности, аксиомы непрерывности и аксиома параллельности. Аксиомы этих пяти групп относятся к объектам трех родов - точкам, прямым, плоскостям и трем отношениям между ними, выражаемым словами принадлежит, между, конгруэнтен. Что такое точка, прямая и плоскость и каков конкретный смысл указанных отношений, Гильберт не уточняет. [43]
Аксиоматическое изложение евклидовой геометрии, содержащееся в настоящей главе, опирается на пять групп аксиом: аксиомы связи, аксиомы порядка аксиомы движения, аксиома непрерывности и аксиома параллельности. [44]
Согласно общему приему доказательства независимости аксиом, указанному в § 4, нам достаточно построить такую реализацию системы аксиом евклидовой геометрии без аксиомы параллельности, в кото рой аксиома параллельности не выполняется. [45]