Cтраница 2
Аналогично доказывается то же самое для всех остальных аксиом. [16]
Напомним, что аксиома называется независимой от остальных аксиом, если она не выводима ( не доказуема) из них. [17]
Если бы аксиома полной индукции была выводима из остальных аксиом, то она была бы слабо регулярной. Покажем, что она не может быть слабо регулярной. [18]
Одна из этих аксиом является следствием другой и остальных аксиом булевой алгебры. [19]
В общем же случае аксиома TG3 не является следствием остальных аксиом. [20]
Доказательство второго утверждения мы не будем проводить для всех остальных аксиом, но для примера проверим некоторые из них. [21]
Обратный вопрос: будет ли аксиома, внутренне независимая от остальных аксиом, также независимой в первом смысле-мы здесь не будем рассматривать. [22]
То есть она не может быть получена как след ствие остальных аксиом евклидовой геометрии. [23]
Гаусс прекрасно знал о тщетных попытках вывести аксиому отгарадлеЛьных из остальных аксиом евклидовой геометрии, ибо в Геттингене об этом были наслышаны все. Но до 1799 г. Гаусс все же не прекращал попытки вывести аксиому Евклида о параллельных из других, более правдоподобных предположений; он был убежден, что евклидова геометрия отражает геометрию физического пространства, хотя допускал возможность существования логически непротиворечивых неевклидовых геометрий. [24]
Непротиворечивость означает, что ни одна из аксиом не противоречит остальным аксиомам. Применительно к аксиомам Вейля это требование, очевидно, выполнено, иначе ей не могли бы удовлетворять векторы - направленные отрезки. [25]
В предыдущей главе было доказано, что аксиома параллельности независима от остальных аксиом евклидовой геометрии. Отсюда следует, что, заменив эту аксиому ее отрицанием, мы получим также логически непротиворечивую систему. Геометрия, основанная на этой системе аксиом, называется геометрией Лобачевского. [26]
ЭМ, в которой аксиома А была бы ложна, а все остальные аксиомы этой теории истинны. Уточнением понятия аксиоматической теории является понятие формальной системы. Это позволяет представлять математические теории как точные математические объекты и строить общую теорию или метатеорию таких теорий. Всякая формальная система строится как точно очерченный класс выражений-формул, в котором некоторым точным образом выделяется подкласс формул, называемых теоремами данной формальной системы. [27]
Однако эти формулировки по-настоящему станут ясны только после присоединения к ним множества остальных аксиом. Кроме того, после такого присоединения мы получим точную аксиоматику элементарной стереометрии. [28]
Любопытно, что все предложения ОВ - ООВ могут быть получены из остальных аксиом и правил. [29]
В таком случае формула 21 г не может быть логически выведена из остальных аксиом. Если бы она была выводима из остальных аксиом, то этот вывод был бы справедлив и для любой интерпретации; для любой области с любыми предикатами из истинности аксиом 21 ь Я - ь 21 и-ь, Я я вытекала бы и истинность аксиомы 21 г - Но по предположению существует интерпретация, в которой аксиомы ( 2) истинны, а аксиома § Ь нет. Отсюда мы можем заключить, что если какая-либо аксиома независима от остальных в первом смысле, то она должна быть независима и во втором смысле. [30]