Cтраница 1
Ассоциативная алгебра ( с единицей), которую cp ( L) порождает в End 1 /, оставляет инвариантными те же подпространства, что и L. Поэтому все обычные утверждения о модулях над ассоциативными кольцами ( например, теорема Жордана-Гельдера) выполняются и для L. [1]
Ассоциативная алгебра над полем характеристики, большей п ( либо нулевой), удовлетворяющая тождеству хп 0, нильпотентна. [2]
Ассоциативная алгебра, кроме того, должна быть векторным пространством над фиксированным полем F и умножение в ней связано с умножением на элементы поля условиями a ( ab) ( aa) ba ( ab) для всех a. [3]
Ассоциативные алгебры являются предметом активных исследований. Важные результаты здесь возникают практически каждый год, и было бы упущением не отметить хотя бы основные из них, полученные после завершения работы над книгой. Такого рода комментарии и составляют содержание добавлений к замечаниям. [4]
Пусть U-унитарная ассоциативная алгебра с конечным числом образующих, и пусть Ж - двусторонний идеал в Uy такой, что пространство U / Ж конечномерно. Тогда идеал Ж имеет конечное число образующих. Пусть k - целое число 0 и Ж1с - подпространство в U, порожденное произведениями из k элементов идеала Ж ] тогда л - двусторонний идеал и пространство и / Ж1 конечномерно. [5]
Обертывающая ассоциативная алгебра W есть не что иное, как алгебра многочленов относительно W с равными нулю постоянными членами. Если Wl и W2 - два таких многочлена, то и произведение Wl X W2 - такой же многочлен. [6]
Класс ассоциативных алгебр занимает важное место в теории алгебр и наиболее хорошо изучен. Однако в математике и ее приложениях часто возникают и другие классы алгебр, в которых условие ( 2) уже не выполняется. Такие алгебры назьь ваются неассоциативными. [7]
История ассоциативных алгебр начинается с открытия Гамильтоном в 1843 г. вещественных кватернионов. [8]
Назовем ассоциативную алгебру А с единицей центральной простой над полем Р, если Z ( A) Р и в А нет двусторонних идеалов, отличных от 0 и А. [9]
В ассоциативной алгебре сумма конечного числа нильпотентных идеалов является нильпотентным идеалом, а сумма произвольного множества нильпотентных идеалов является, вообще говоря, локально нильпотентным идеалом. Конечномерная алгебра яад полем нулевой характеристики, обладающая базисом, состоящим из нильпотентных элементов, нильпотентна. Если алгебра удовлетворяет полиномиальному тождеству степени d, то всякое ее нильпотентное подкольцо в степени [ d / 2 ] принадлежит сумме нильпотентных идеалов. Производная алгебра конечномерной алгебры Ли над полем нулевой характеристики нильпотентна. Нильпотентные подалгебры, совпадающие со своим нормализатором ( п о д-алгебры Картана), играют существенную роль в классификации простых алгебр Ли конечной размерности. Ли обладает внешним автоморфизмом. [10]
А - ассоциативная алгебра, то нетрудно проверить, что Л ( Х) является н.й. алгеброй. При этом если в А не выполнено тождество [ [ х, у ], г ] 0, то Л w неассоциативна. Алгебры вида Лх для ассоциативной алгебры А называются расщепляемыми квазиассоциативными алгебрами. Более общо, алгебра А называется квазиассоциативной, если некоторое ее скалярное расширение - расщепляемая квазиассоциативная алгебра. [11]
Тогда обертывающая ассоциативная алгебра 2В системы 2В нильпотентна. [12]
А - ассоциативная алгебра, то нетрудно проверить, что AW является ни. При этом если в Л не выполнено тождество [ [ х, у ], z ] 0, то Л №) неассоциативна. В частности, если А - простая некоммутативная ассоциативная алгебра, то Л ( Х) дает нам пример простой неассоциативной н.й. алгебры. Алгебры вида / 4 ( W для ассоциативной алгебры А называются расщепляемыми квазиассоциативными алгебрами. Более общо, алгебра А называется квазиассоциативной, если некоторое ее скалярное расширение - расщепляемая квазиассоциативная алгебра. [13]
Из всякой ассоциативной алгебры R может быть построена алгебра Ли L ( R ] заменой операции умножения в Л на операцию коммутирования [ ху ху-ух. [14]
L образует ассоциативную алгебру с единицей, к-рой является тождественное преобразование. [15]