Cтраница 2
Пусть К - поле, Е - множество, L - свободная ассоциативная алгебра множества Е над полем / С, 5R - подмножество алгебры L, 21 - идеал, порожден-ный множеством 5R в алгебре L, А - алгебра L / ЭД и f - естественный гомоморфизм алгебры L на алгебру А. [16]
Это следствие показывает, например, что собственное кольцо любого элемента свободной ассоциативной алгебры является коммутативным. [17]
Из предложения 6.2 следует, что собственное кольцо произвольного ненулевого элемента свободной ассоциативной алгебры является алгебраическим; однако в этом случае имеет место значительно более сильный результат. При его доказательстве нам понадобится понятие ретракта кольца; напомним коротко определение и некоторые свойства ретрактов. [18]
Трудность использования этого критерия состоит в том, что различные степенные функции на свободной ассоциативной алгебре могут быть никак не связаны между собой. Отметим одно достаточное условие свободы, вытекающее из предыдущего предложения в силу того, что обычная степенная функция на А ( определенная через X) дает некоторую степенную функцию на подалгебре В. [19]
SJ [ X ], которая определяется как наименьший Ф - подмодуль в свободной ассоциативной алгебре Ass [ X ], содержащий А и замкнутый относительно йорданова умножения. Я ( Ass [ А ], ) порождается множеством X и всевозможными тетрадами xiXjXkxi XiXjX / tXt - f - xiXkXjXr, при X 3 она совпадает с и. Никаких критериев йордановости элементов из AssfX ] при А 3 пока не найдено. [20]
Отметим также обзор [129], где, в частности, рассматривается аналог поля рациональных функций для свободной ассоциативной алгебры над полем. [21]
Предложение 1 показывает, что свободные ассоциативные ллгебры играют по отношению ко всем ассоциативным ( но не обязательно коммутативным) алгебрам роль, аналогичную той, которую алгебры4полиномов играют по отношению к ассоциативным и коммутативным алгебрам. Поэтому элементы свободной ассоциативной алгебры множества Е над полем К называются также некоммутативными полиномами от элементов множества Е с коэффициентами из поля К. [22]
Если А - свободная ассоциативная алгебра, то любое множество X свободных порождающих алгебры А определяет степенную функцию dx, относительно которой выполняется слабый алгоритм. Обратно, любая степенная функция ( над k), относительно которой А обладает слабым алгоритмом, приводит к некоторому множеству свободных порождающих алгебры Л; два множества свободных порождающих определяют одну и ту же степенную функцию тогда и только тогда, когда они связаны некоторым линейным преобразованием. [23]
Всякая подалгебра свободной алгебры Ли над полем сама свободна ( [6], с. Пусть Ass [ ] - свободная ассоциативная алгебра над Ф, тогда алгебра L [ X ] изоморфна подалгебре алгебры Ли Ass ], порожденной множеством X ( см. [6], с. Если однородный элемент tweAss [ X ] степени п 1 является лиевым, тол ( ш) nw ( см. [6], с. [24]
Всякая подалгебра свободной алгебры Ли над полем сама свободна ( [6], с. Пусть Ass [ J ] - свободная ассоциативная алгебра над Ф, тогда алгебра L [ X ] изоморфна подалгебре алгебры Ли Ass [ X ] -, порожденной множеством X ( см. J6 ], с. Если однородный элемент шеАзз [ X ] степени п 1 является лиевым, тоя ( ш) nw ( см. [6], с. [25]
Упорядочим переменные по типу натурального ряда, например, по их индексам, а на X определим смешанный порядок: из двух слов и, v из X большим считается то, которое имеет большую длину ( степень), а слова одинаковой длины сравниваются лексикографически. Полугрупповая алгебра А k X называется свободной ассоциативной алгеброй, алгеброй некоммутативных полиномов ( при этом слова из X называются некоммутативными мономами) или тензорной алгеброй. [26]
В этой главе изучаются 2 - FI-кольца, для которых решетка делителей любого ненулевого элемента является дистрибутивной. В § 4.3 показано, что этим свойством обладают свободные ассоциативные алгебры, различные следствия этого свойства рассматриваются в § 4.2 и в § 4.4 - 4.5; в § 4.6 описано строение собственных колец элементов кольца с дистрибутивной решеткой делителей. [27]
Идеал свободной ассоциативной алгебры 21 k ( Y) называется 5-иде-алом, если он инвариантен относительно всех линейных подстановок переменных. В [7] Н. Г. Наджаряном доказана довольно сложная теорема: Т - идеал свободной ассоциативной алгебры 21 k ( Y), порожденный полилинейным длинным коммутатором, является конечно порожденным S-идеалом. Правда, она доказана в предположении сигнатурной единицы, но в силу леммы 3.1 это предположение можно опустить. [28]
Одним из наиболее глубоких результатов об их строении является теорема Ширшова, утверждающая, что свободная и. SJ [ X ], которая определяется как наименьшее подпространство в свободной ассоциативной алгебре Ass [ X ], содержащее X и замкнутое относительно йорданова умножения. Ass [ X ], ) порождается множеством X и всевозможными тетрадами xiXjXkXi XiXjXhxL - - XiXhXjXi при Х 3 она совпадает с и. Никаких критериев йордановости элементов из Ass [ X ] при Jf 3 пока не найдено. [29]
Так, в классе всех полугрупп конечно определенная полугруппа задается ассоциативным исчислением Туэ. В классе всех ассоциативных алгебр конечно определенная алгебра представляется в виде фактор-алгебры свободной ассоциативной алгебры. Однако такое задание вряд ли может быть полезным для эффективных вычислений. Дело в том, что при таком способе задания проблема равенства слов и проблема вхождения в идеал оказываются алгоритмически неразрешимыми. После этого трудно ожидать, что какие-либо разумные свойства алгебраических объектов будут эффективно распознаваемы. Действительно, известны марковские свойства, алгоритмическая нераспознаваемость которых доказана. [30]