Cтраница 3
J [ X ] при АГ 3 не специальна и содержит делители нуля, а при достаточно большом числе порождающих rad / [ J ] 0 ( Медведев Ю. А. / / Сиб. SJ [ X ], которая определяется как наименьший Ф - подмодуль в свободной ассоциативной алгебре Ass [ X ], содержащий X и замкнутый относительно йорданова умножения. H ( Ass [ X ], ) порождается множеством X и всевозможными тетрадами xiXjXkXi xiXjXkxi xiXkx Xi, при Х 3 она совпадает с и. Никаких критериев йордановости элементов из Ass [ Jf ] при Х 3 пока не найдено. [31]
Цепные многочлены можно рассматривать как обычные многочлены от многих переменных над полем рациональных чисел, за тем лишь исключением, что эти переменные не коммутируют при умножении. На принятом в чистой математике языке множество-цепных многочленов с определенными нами здесь операциями - это свободная ассоциативная алгебра над полем рациональных чисел, порожденная А. [32]
В частности, таким телом частных обладают любое Pi-кольцо без делителей нуля и любая групповая алгебра ФС, где Ф поле, a G - нилыю-тентная группа без кручения ( [7], гл. В тело вкладываются также групповые алгебры упорядоченных групп, групповые алгебры групп без кручения с одним соотношением, кольца R, все конечно порожденные правые [ левые ] идеалы которых свободны как правые [ левые ] / - модули и, в частности, свободные ассоциативные алгебры ( [14], с. Известен критерий вложимости кольца R в тело, связанный с рассмотрением матриц над R ( см. [49], с. [33]
В своем предисловии автор приводит ряд доводов в пользу необходимости развития этой теории, основным из которых является идея создания некоммутативной алгебраической геометрии, например, в духе изучения решений систем уравнений от некоммутирующих переменных над телами. Однако независимо от этой возможности изучение свободных ассоциативных алгебр с общих алгебраических позиций представляется совершенно естественной и важной задачей; достаточно вспомнить то место, которое занимает теория свободных групп во всей теории групп. Если учесть, что теория свободных ассоциативных алгебр далеко еще не завершена, то станет ясно, что появление этой книги заполняет заметный пробел в современной математической литературе. [34]
В силу аксиомы о полном упорядочении, можно считать, что множество X вполне упорядочено. Положим Г Кегя и обозначим через G свободную ассоциативную алгебру с единицей над полем Р со свободной порождающей системой X. [35]
В связи с теоремой 4.1 отметим следующее. Пусть R - некоторое u - кольцо, где k - тело, X - подмножество из &, такое, что все одночлены от X образуют правый fe - базис этого кольца. Тогда, если элементам множества X приписать некоторые степени, а в качестве степени произвольного элемента кольца R взять формальную степень его представления через выбранный базис, то относительно так определенного нормирования кольцо R не обязано быть фильтрованным. Для свободной ассоциативной алгебры указанная ситуация не возникает, но в общем случае в алгебре R нельзя определить подходящую фильтрацию. В доказательстве теоремы 4.1 мы существенно использовали то обстоятельство, что функция v по условию является фильтрацией. [36]
В своем предисловии автор приводит ряд доводов в пользу необходимости развития этой теории, основным из которых является идея создания некоммутативной алгебраической геометрии, например, в духе изучения решений систем уравнений от некоммутирующих переменных над телами. Однако независимо от этой возможности изучение свободных ассоциативных алгебр с общих алгебраических позиций представляется совершенно естественной и важной задачей; достаточно вспомнить то место, которое занимает теория свободных групп во всей теории групп. Если учесть, что теория свободных ассоциативных алгебр далеко еще не завершена, то станет ясно, что появление этой книги заполняет заметный пробел в современной математической литературе. [37]
Элемент множества Е и слово, соответствующее одноэлементной последовательности, состоящей из этого элемента, отвечают друг другу взаимно однозначно; мы их будем отождествлять. Кроме того, множество М образует базис алгебры L, если эту алгебру рассматривать как векторное пространство над полем К. Ясно, что L является ассоциативной унитарной алгеброй над полем К и что множество Е есть система почти-образующих алгебры L. Эту алгебру L и называют свободной ассоциативной алгеброй множества Е над полем К. [38]
Однако определение аналогично переносится и на другие объекты, например, на алгебры Ли и группы. Единственное, что нуждается в этом случае в определении - это понятие свободной алгебры Ли и свободной группы соответственно. Кроме того, роль идеала в случае группы должна, естественно, исполнять нормальная подгруппа. Оба свободных объекта строятся менее тривиально, чем свободная ассоциативная алгебра. [39]