Cтраница 2
Введенное нормирование наделяет 2 ( структурой топологической алгебры. Очевидно, что подалгебра ЭД всюду плотна в ЭД. [16]
Предмет этой книги можно определить как топологическую алгебру, точнее - как теорию алгебро-топологических структур, допускающих естественные ( операторнозначные) представления в векторных пространствах. К числу таких структур относятся топологические алгебры, алгебры Ли, топологические группы, группы Ли. Детально излагаются фундаментальные аспекты теории, в том числе теория инвариантных мер на локально компактных группах, теория Софуса Ли о связи между алгебрами Ли и группами Ли. Особенно подробно рассматриваются полупростые алгебры и группы Ли, банаховы алгебры, квантовые группы. [17]
Тем самым множество Н обращается в топологическую алгебру того же примитивного класса, что и заданные алгебры Аа. [18]
Параллелизм между теорией абстрактных алгебр и теорией топологических алгебр становится более отчетливым, если на топологические пространства смотреть как на дискретные алгебры с системой частичных операций предельного перехода. Трудность состоит лишь в том, что эти операции зависят от бесконечного числа переменных, и, в особенности, в том, что свойства их выражаются не в виде тождеств. Тем не менее сопоставление операторной точки зрения на топологические пространства с обычной представляет интерес и будет проведено кратко в настоящем параграфе. [19]
Существование алгебры А непосредственно следует из свойств прямых произведений топологических алгебр. [20]
Алгебры, обладающие подобными топологиями, изучались рядом авторов под названием топологических алгебр Буля); они образуют наиболее естественный для функционального анализа и теории вероятностей класс булевых алгебр. [21]
В § 4 мы указали, что пространства типа 5 являются топологическими алгебрами относительно обычного умножения. Так как при преобразовании Фурье семейство пространств типа S переходит в себя, а операция умножения - в операцию свертки, то мы можем заключить, что все пространства типа S являются топологическими алгебрами и относительно свертки. [22]
Пусть, наконец, сэ-топология на X совпадает с топологией X как подпространства заданной топологической алгебры А. Покажем, что в таком случае сэ-топология совпадает с Х0 - топологией А. Поскольку Х0 - топология содержит всякую допустимую топологию А относительно X, то Х0 - тодология содержит исходную топологию А и поэтому является хаусдорфовой. По условию в Х0 - топологии множества Xt, а вместе с ними и множества Yt бикомпактны, а потому и замкнуты. Обратное включение уже было установлено и потому Х0 - топология в рассматриваемом случае совпадает с со-топологией. [23]
Уже отмечалось, что Анатолием Ивановичем получены фундаментальные результаты и в теории групп, и в теории колец, в топологической алгебре, в теории групп Ли, в теории алгоритмов, в теории универсальных алгебр, в теории моделей. Он является одним из создателей теории общих алгебраических систем. Очень многие его результаты включены в наши и зарубежные монографии, обзорные статьи. [24]
Основными источниками, питавшими гармонический анализ в пору его становления, были математическая физ ика, теория вероятностей, теория чисел и топологическая алгебра. В свою очередь, гармонический анализ сильно способствовал выработке основных идей и технических приемов этих дисциплин. [25]
Халмоша посвящена систематическому изложению теории меры и абстрактного интеграла Лебега и некоторым их приложениям, главным образом к теории вероятностей и к топологической алгебре. Первые восемь глав книги содержат общую теорию меры в абстрактном пространстве. Понятие независимости множеств приводит к теоретико-множественной трактовке основ теории вероятностей ( гл. IX), а введение в исходном пространстве топологии - к изучению меры в локально компактных пространствах ( гл. Следует отметить, что этот последний круг вопросов сравнительно мало освещен в монографической литературе. [26]
В силу 1.1 существует такая операция взятия внутренности Г в В, что класс С0 всех открытых элементов из В () является подбазой топологической алгебры В. Так как класс С0 содержит нулевой и единичный элементы алгебры В и Ь Ь2 Ой при Ь, &2 С0, класс е0 является даже базой для В ( см. стр. [27]
В начало второго тома вошли две новые главы: первая - об алгебраических функциях одной переменной, охватывающая материал вплоть до теоремы Римана - Роха для полей с произвольным полем констант; другая-о топологической алгебре, посвященная в основном пополнению топологических групп, колец и тел. [28]
Если мы сделаем более сильное предположение, что в топологическое пространство алгебраического образования можно ввести систему координат, в которой основные операции будут не только непрерывны, но и дифференцируемы, то получим классические области топологической алгебры, основным представителем, которых является теория групп Ли. При таком общем определении топологической алгебры в нее оказываются включенными значительные отделы геометрии и анализа ( геометрия однородных пространств, тензорное исчисление и теория инвариантов, функциональный анализ и др.) - Некоторые из них по многочисленности и важности работ занимают самостоятельное и выдающееся место в математике. Работам, относящимся к таким отделам, посвящены особые обзоры в настоящем сборнике, и мы их касаться не будем. [29]
В начало второго тома вошли две новые главы: первая - об алгебраических функциях одной переменной, охватывающая материал вплоть до теоремы Римана - Роха для полей с произвольным полем констант; другая - о топологической алгебре, посвященная в основном пополнению топологических групп, колец и тел. [30]