Cтраница 2
Вторая глава посвящена тензорной алгебре и тензорному анализу. Предлагаемое здесь изложение тензорного анализа не нуждается в опоре на какую-либо область математики, специально привлекаемую для его обоснования. [16]
Как и в обычной тензорной алгебре, в спинорной алгебре имеются две основные операции - умножение и упрощение ( или свертывание) по паре индексов. [17]
Как и в обычной тензорной алгебре, в спинорной алгебре имеются две основные операции - умножение и упрощение ( или свертывание) по паре индексов. Упрощение по паре индексов ( т.е. суммирование компонент по одинаковым значениям одного ко - и одного контравариантного индексов) понижает ранг спинора на две единицы. [18]
Спинорная алгебра строится аналогично тензорной алгебре. [19]
В избранном варианте построения тензорной алгебры несколько изменяется, по сравнению с привычным, закон преобразования компонент при замене базиса. [20]
До сих пор для построения тензорной алгебры нами не было использовано привычное для нас понятие расстояния между точками пространства Rn. Для определения е-окрестности точки из Rn мы использовали евклидово расстояние между точками. Теперь же мы рассмотрим класс пространств ( многообразий) Rn, на которых определена инвариантная метрика, позволяющая измерять расстояния между точками пространства. [21]
Переходим к рассмотрению последнего действия тензорной алгебры - действию свертывания. Действие свертывания распространяется лишь на смешанные тензоры. [22]
Пусть V-векторное пространство, Т - тензорная алгебра над V, В - базис пространства V и М - полугруппа, состоящая из конечных произведений ( в Т) элементов множества В. [23]
Мы теперь переходим к последней части тензорной алгебры, которая на это именно обстоятельство существенно опирается. [24]
Спинорная алгебра понятна из аналогии с тензорной алгеброй. Спинору 2 соответствует сопряженный спинор I1, 2 ( 1и 2 мДУ) - Сшштензоры но отношению к некоторым индексам могут преобразовываться как сопряженные спиноры. [25]
Пусть V-векторное пространство, а Т - тензорная алгебра над V. После такого отождествления алгебра Е называется внешней алгеброй над V. Это, очевидно, ассоциативная унитарная алгебра, для которой пространство V является системой почти-образующих. Квадраты всех элементов пространства V в алгебре Е равны нулю. [26]
Предполагая, что читатель знаком с основами тензорной алгебры и тензорного анализа, напомним некоторые свойства тензоров в евклидовом трехмерном пространстве. При пользовании прямоугольными декартовыми координатами исчезает разница между ковариантными и контравариантными величинами, поэтому мы будем пользоваться только нижними индексами. [27]
Такое диадное представление тензора существенно облегчает операции тензорной алгебры. [28]
Мы уже убедились, что многие формулы тензорной алгебры пишутся в терминах тензорного умножения и последующей свертки по одной или нескольким парам индексов. [29]
Подобно переходу от векторов к тензорам в обычной тензорной алгебре, можно ввести понятие о спинорах высших рангов. Аналогичным образом определяются спиноры любого ранга. [30]