Cтраница 2
Как и компактная форма, некомпактная нормальная форма определена однозначно с точностью до автоморфизма объемлющей комплексной алгебры. Это разложение показано над полем R, поэтому отдельно изображены как вещественные, так и мнимые плоскости. [16]
Ноно [77] продолжал начатое им в других работах исследование особенностей экспоненциального отображения ехр вещественной или комплексной алгебры Ли G в группу ( &. Пусть A GG - элемент, в окрестности которого отображение ехр не является гомеоморфизмом. Размерность множества L ( х) равна числу линейно независимых собственных векторов оператора ad л: с собственными значениями вида 2ти &, где k - целое число, не равное нулю. [17]
Лемма 2 позволяет сопоставить вещественной полупростоп алгебре Ли g схему Сатаке, которая получается из схемы Дынкина комплексной алгебры Ли б ( С) следующим образом: кружки, соответствующие корням из П0, зачерняются, а пары различных корней из HI, переводимых друг в друга инволюцией со, соединяются стрелками. [18]
Из теоремы 1 и задачи 8 следует, что классификация простых вещественных алгебр Ли сводится к классификации простых комплексных алгебр Ли, полученной в § 4.3, и к классификации попарно не изоморфных вещественных форм каждой из них. [19]
Общее доказательство пригодности этого способа, данное Кос-тантом, основывается на некоторых свойствах группы Вейля и главной трехмерной подалгебры комплексной алгебры Ли G, соответствующей группе &. Фундаментальную роль играет элемент R группы Вейля, являющийся произведением отражений, связанных со всеми простыми корнями. Обозначим через h порядок этого элемента. [20]
Неудивительно, что квадратичная форма / С на V, сохраняемая при действии D, оказалась формой Киллинга, ассоциированной с комплексной алгеброй Ли Es. Томпсон показал, что Aut ( Л) сохраняет / С. Томпсон также доказал, что D - наибольшая подгруппа в F3, сохраняющая указанное лиевское умножение. [21]
В теории представлений групп Ли символ f / ( g), даже в случае вещественных алгебр Ли g, традиционно обозначает комплексную алгебру f / ( gc) fis ( g) С. Очевидно, что все три данные выше определения могут быть адаптированы для этого случая. [22]
На самом деле, как мы убедимся в § 3, перечисленные здесь вещественные формы исчерпывают, с точностью до изоморфизма, все вещественные формы классических комплексных алгебр Ли. Легко заметить, что все перечисленные ниже вещественные структуры и вещественные формы в классических группах являются алгебраическими. [23]
Пусть А, Н ( Q) и Н ( А &) - те же, что и в определении 10.26. Тогда Н ( Ащ) есть комплексная алгебра. Отображение f - / представляет собой изоморфизм алгебры Н ( О. [24]
При этом формулы ( 24) и ( 27) остаются в силе, следует только иметь в виду, что входящие в них члены: напряжения, сопротивления, проводимости и функции передачи, являются комплексными величинами, подчиняющимися правилам комплексной алгебры. [25]
Комплексные алгебры приводят к очевидной комплексификации расщепимых периодических цепочек. [26]
Теорема 7.30 не верна для произвольных комплексных алгебр. Однако утверждение теоремы остается верным даже и для комплексных алгебр, если на - наложить еще одно условие, а именно если потребовать, чтобы А была самосопряженной. [27]
Алгебра L, как комплексная и полупростая, известна. Обратно, для получения таким методом вещественной алгебры из комплексной алгебры L достаточно выбрать в L такой базис, в котором структурные постоянные с fit были бы вещественны, и затем формально рассмотреть вещественную алгебру с этими структурными постоянными. [28]
Поэтому задача классификации простых алгебр Ли была сведена к классификации всех неразложимых тг-систем. В работе [ Ды1 ] было доказано, что существует 4 бесконечные серии простых комплексных алгебр Ли, отвечающих классическим алгебрам, и 5 так называемых исключительных комплексных алгебр Ли. Оказалось также, что множества простых корней этих алгебр удобно изображать в виде графических схем, получивших название диаграмм Дынкина. Они строятся по следующему правилу. Далее, кружки, отвечающие корням от - и о, соединим AijAji линиями. Если А 0, то эти кружки не соединяются. [29]
Вещественная подалгебра G0 алгебры Ли G ( рассмат риваемая как алгебра над полем R) называется вещественно формой комплексной алгебры Ли G, если каноническое отображе ние комплексного расширения С0с С0 цС алгебры G0 в алгес-р у G является изоморфизмом. [30]