Cтраница 3
Поэтому задача классификации простых алгебр Ли была сведена к классификации всех неразложимых тг-систем. В работе [ Ды1 ] было доказано, что существует 4 бесконечные серии простых комплексных алгебр Ли, отвечающих классическим алгебрам, и 5 так называемых исключительных комплексных алгебр Ли. Оказалось также, что множества простых корней этих алгебр удобно изображать в виде графических схем, получивших название диаграмм Дынкина. Они строятся по следующему правилу. Далее, кружки, отвечающие корням от - и о, соединим AijAji линиями. Если А 0, то эти кружки не соединяются. [31]
Ли тесно связано с понятием вещественной формы комплексной алгебры Ли. Не всякая комплексная алгебра Ли имеет вещественную форму. С другой стороны, заданная комплексная алгебра Ли, вообще, может иметь несколько неизоморфных вещественных форм. [32]
Алгебра Ли над Ж называется компактной, если она обладает инвариантным скалярным произведением. Это название оправдывается тем, что алгебра Ли компактной группы Ли компактна. Так как в комплексной алгебре L любая билинейная форма является индефинитной, то всякая комплексная алгебра Ли L некомпактна, а компактная алгебра является некоторой вещественной формой в L. Ln идеалов, где N - центр L, L - полупростая, a Li - простые алгебры. [33]
Ли, и тем самым из А возникает алгебра Ли А. Если А - алгебра всех квадратных матриц данной степени п, то Аг называется полной матричной алгеброй Ли. Давно предполагалось, что каждая вещественная или комплексная алгебра Ли изоморфна подалгебре некоторой матричной алгебры Ли. Полное доказательство этого глубокого утверждения удалось дать И. Д. А д о [2] в 1935 г. Доказательство И. Д. А д о опирается на тонкие структурные свойства комплексных алгебр Ли. [34]
Все они являются также простыми алгебрами над полем R. Абсолютно простая вещественная алгебра L называется вещественной формой простой комплексной алгебры L, если Lc L S С. [35]
Алгебра Ли над Ж называется компактной, если она обладает инвариантным скалярным произведением. Это название оправдывается тем, что алгебра Ли компактной группы Ли компактна. Так как в комплексной алгебре L любая билинейная форма является индефинитной, то всякая комплексная алгебра Ли L некомпактна, а компактная алгебра является некоторой вещественной формой в L. Ln идеалов, где N - центр L, L - полупростая, a Li - простые алгебры. [36]
Как известно, любую полупростую алгебру Ли д ( над К или С) можно отождествить с линейной алгеброй Ли adg дЦй) над тем же полем. Подалгебра I) вещественной полупростой алгебры Ли д называется ( редуктивной) алгебраической, если I) ( С) - ( редуктивная) алгебраическая подалгебра комплексной алгебры Ли 0 ( С) - Например, всякая полупростая подалгебра полупростой алгебры Ли ( над С или К) является редуктивной алгебраической. [37]
Ли тесно связано с понятием вещественной формы комплексной алгебры Ли. Не всякая комплексная алгебра Ли имеет вещественную форму. С другой стороны, заданная комплексная алгебра Ли, вообще, может иметь несколько неизоморфных вещественных форм. [38]
Ли, и тем самым из А возникает алгебра Ли А. Если А - алгебра всех квадратных матриц данной степени п, то Аг называется полной матричной алгеброй Ли. Давно предполагалось, что каждая вещественная или комплексная алгебра Ли изоморфна подалгебре некоторой матричной алгебры Ли. Полное доказательство этого глубокого утверждения удалось дать И. Д. А д о [2] в 1935 г. Доказательство И. Д. А д о опирается на тонкие структурные свойства комплексных алгебр Ли. [39]