Cтраница 3
Основой структурных рассуждений служит рассмотрение полупростой ( полупервичной) части и сведение к ней путем факторизации по радикалу. Оказывается, первичной является моно-миальная алгебра, соответствующая периодическому слову. Она порождает матричное многообразие Var ( Mn), где п - длина периода. Если в слове есть периодический кусок сверхслова и00 периода, большего п, и выполняется тождество /, которого нет в ( n x п) - матрицах, то с помощью этого тождества период можно испортить. При этом можно получить слово, лексикографически меньшее и. Далее работает техника выделенных наборов слов, позволяющая сделать рассуждения в полупростой части конструктивными. Набор слов называется выделенным, если факторалгебра по идеалу, порожденному этим набором, ниль-потентна. Свойство выделенности набора слов или сверхслов не зависит от радикала. Наконец, перекачка - это свойство, очень похожее на алгебраичность. Унитарной замкнутости многообразия, порожденного алгеброй матриц, отвечает лемма о вычеркиваниях и приписках. Рассмотрение неприводимых модулей соответствует рассмотрению сверхслова, линейно не пред-ставимого меньшими. Покажем на примере, как это работает. [31]
Параболических точек у гиперповерхности АС может и не быть. Для гиперповерхности более высокого порядка в общем положении параболические точки должны быть. Если исходная поверхность гладкая, то у проективно двойственной параболических точек нет. Но зато у нее есть много особенностей. Например, при проективной двойственности такие ребра получаются из стандартных параболических точек типа А %, рассмотренных в примере выше. Существование стандартных ребер возврата тоже является препятствием к алгебраичности. Доказательство этого примерно такое же как для параболических точек, но более сложное, потому что приходится изучать оператор локальной вариации не в обычной, а в стратифицированной теории Пикара - Лефшеца. Эта теория изучает ветвление групп гомологии гиперплоских сечений комплексных алгебраических множеств с особенностями при изменении этих секущих гиперплоскостей. [32]
Многие специальные функции математической физики и прочих прикладных наук задаются интегральными представлениями по одной и той же схеме. Имеется гладкое локально тривиальное расслоение Е - Т, и на пространстве этого расслоения имеется дифференциальная форма ш, которая замкнута вдоль слоев, но не замкнута на всем пространстве. Кроме того, задана отмеченная точка bo Е Т и в слое над этой точкой фиксирован класс гомологии той же размерности, что и форма. Тогда на базе возникает функция, которая строится следующим образом. Конечно, это перетаскивание строится неоднозначно, но классы гомологии полученных циклов определены однозначно. А следовательно и результат интегрирования зависит только от исходного класса гомологии, от способа перетаскивания он не зависит. Возникающая функция локально определена однозначно, но глобально она может ветвиться. Если фундаментальная группа базы нетривиальна, то, совершив обход вдоль нестягиваемого пути, можно прийти к другому классу гомологии. Это представление фундаментальной группы базы в гомологиях слоя называется монодромией, а его образ - группой монодромии нашего расслоения. Многие аналитические свойства возникающей функции ( однозначность, алгебраичность, количество листов, регулярность) сводятся к изучению группы монодромии. Многие конкретные вопросы, о которых я буду говорить, решаются в терминах этой группы. [33]