Cтраница 2
Открытие иррациональных величин пробило первую брешь в системе дискретной геометрии, которой, с другой стороны, угрожали ( или продолжали угрожать) апории, выдвинутые Зе-ноном. [16]
Парадоксы ( логики и теории множеств) - формально-логические противоречия, к-рые возникают в содержательной теории множеств п формальной логике при сохранении логической правильности хода рассуждения; родственны апориям Зе-нона и семантическим антиномиям, известным с глубокой древности. Они могут появиться как в пределах научной теории, так и в обычных рассуждениях ( напр. Расселом перифраза его парадокса о множестве всех нормальных множеств: Деревенский парикмахер бреет всех тех и только тех жителей своей деревни, к-рые не бреются сами. [17]
Парадоксы ( логики и теории множеств) - формально-логические противоречия, к-рые возникают в содержательной теории множеств п формальной логике при сохранении логической правильности хода рассуждения; родственны апориям Зе-нона и семантическим антиномиям, известным с глубокой древности. Они могут появиться как в пределах научной теории, так и в обычных рассуждениях ( напр. Расселом перифраза его парадокса о множестве всех нормальных множеств: Деревенский парикмахер бреет всех тех и только тех жителей своей деревни, к-рые не бреются сами. [18]
Четыре апории, известные по изложению у Аристотеля3, представляют лишь незначительную часть всех аргументов Зенона, число которых достигало сорока. Первые две апории ( дихотомия, Ахилл и черепаха) направлены против идеи бесконечной делимости, две других ( летящая стрела и стадион) - против представления о последних частях пространства и времени. [19]
Парадокс ( апория), выдвигаемый как непреодолимый логический тупик, состоит в том, что сумма бесконечного множества слагаемых конечна. [20]
Возвращаясь к апориям Зенона, следует отметить, что они интересовали выдающихся математиков и философов всех времен. До настоящих дней об апориях существуют разные, порой крайне противоположные мнения. Одни считают, что апории Дихотомия и Ахиллес, в которых отрицается движение, исходя из представлений о непрерывности и неограниченной делимости пространства, свидетельствуют лишь о том, что Зенон, не имея понятия предел, не умел суммировать геометрическую прогрессию вроде ( 1) и ошибочно считал, что сумма бесконечно большого числа членов любого, в том числе и сходящегося ряда должна быть бесконечно большой. Другие же ученые признают, что проблемы, связанные о апориями Зенона и затрагивающие соотношения непрерывного и дискретного, относятся к самым трудным вопросам философии и обоснования математики и физики, которые поныне остаются актуальными. Этим вопросам посвящена огромная литература, написанная на протяжении двух с половиной тысяч лет. [21]
Интеграция, универсальный синтез знаний сопряжены также с разрешением характерных трудностей, противоречий, возникающих на границах различных областей, уровней, разделов науки при их стыковке, согласовании. Речь идет о всевозможных парадоксах, апориях ( логических затруднениях), антиномиях ( противоречиях в логически доказуемых положениях), познавательных дилеммах, кризисных ситуациях в науке, в осмыслении и преодолении которых философской мысли принадлежит весьма существенная роль. В конечном счете такие затруднения связаны с проблемами соотнесения мысли ( языка) и реальности, то есть принадлежат к извечно философской проблематике. [22]
Согласно этому закону летящая стрела одновременно и находится в конкретном месте в фиксированный момент времени и не находится в нем. Но именно на этот факт и обратил внимание Зенон в апории Стрела, и оттого, что этот факт назван теперь законом, он не стал понятнее в рамках логики. То есть Зенон остается правым в своем утверждении о невозможности в рамках человеческой логики непротиворечиво выразить ( осознать) понятие движения. Таким образом, в данном случае диалектика - действительно очередная завуалированная бесплодная попытка спрятать за термин невозможность адекватно представить трехмерному существу четырехмерное явление совокупностью трехмерных проявлений явления. [23]
Нечеткость, размытость, расплывчатость, туманность понятий, используемых в человеческом мышлении, отражаются в теории нечетких множеств. Это направление прикладной математики активно развивается с середины 1960 - х гг., хотя его истоки лежат еще в апориях философов Древней Греции. [24]
В рамках арифметизированного анализа приобретали полную ясность все осознанные и неосознанные переходы к пределу, совершавшиеся в античной математике от Евдокса до Архимеда, и разрешались ( it известном смысле) зеноновские апории. [25]
В частности, такая судьба ждет, как мне кажется, идею транс-мутационной природы непрерывного движения элементарной частицы: это движение представляет собой серию дискретных трансмутаций и регенераций частицы. В самом конце 40 - х годов каждый раз, когда Я. И. Френкель бывал в Москве, мы беседовали об этом, и то, что я тогда слышал, теперь кажется мне все более точным определением если не физического мира, то направления, которое выбирает его познание исходя из современных апории теории элементарных частиц. [26]
Однако лишь рождавшаяся в процессе ее критики философия-попыталась за этой картиной отыскать космич. Стремление строже фиксировать антиномии средствами рассудочных понятий привело скорее к отрицат. Такие антиномии ( апории) принуждали к отказу от конкретности, от многообразия, от движения как истинных: ( Зенон Элейский) и толкованию их как неподлинных, только чувственно достоверных. [27]
Возвращаясь к апориям Зенона, следует отметить, что они интересовали выдающихся математиков и философов всех времен. До настоящих дней об апориях существуют разные, порой крайне противоположные мнения. Одни считают, что апории Дихотомия и Ахиллес, в которых отрицается движение, исходя из представлений о непрерывности и неограниченной делимости пространства, свидетельствуют лишь о том, что Зенон, не имея понятия предел, не умел суммировать геометрическую прогрессию вроде ( 1) и ошибочно считал, что сумма бесконечно большого числа членов любого, в том числе и сходящегося ряда должна быть бесконечно большой. Другие же ученые признают, что проблемы, связанные о апориями Зенона и затрагивающие соотношения непрерывного и дискретного, относятся к самым трудным вопросам философии и обоснования математики и физики, которые поныне остаются актуальными. Этим вопросам посвящена огромная литература, написанная на протяжении двух с половиной тысяч лет. [28]
Размышляя о движении тел, древнегреческие ученые иногда приходили к необычным парадоксам. Наиболее удивительными среди них являются парадоксы Зенона Элейского ( V в. Придуманные им парадоксы ( или, как их еще называют, апории) продолжают обсуждаться учеными уже на протяжении двух с половиной тысяч лет. [29]
Если для последнего исходным пунктом оказываются единичные вещи, то для разума - общие формы, категории, роды. Однако, отчетливо понимая различие чувственного и всеобщего, Аристотель оказался не в состоянии объяснить их единство как сторон единого процесса развития. В этой апории Аристотеля обнаружилась основная диалектич. [30]