Cтраница 4
Идеалы предложил Дедекинд, который намеревался, вводя идеальные элементы, восстановить основной закон единственности разложения числа на простые множители, нарушавшийся в алгебраических числовых полях. Аналогичным образом наибольший общий делитель двух чисел а и Ъ можно интерпретировать как множество всех чисел вида ах by, где х и у независимо принимают значения из множества всех целых чисел. Но в случае алгебраических числовых полей аналогичное утверждение перестает быть верным, и поэтому возникает необходимость рассматривать в качестве делителей не только числа, но и идеалы. По определению подмножество кольца R называется идеалом, если сумма и разность любых чисел из подмножества принадлежат ему же, равно как и произведение любого числа из подмножества и любого числа из кольца. С другой стороны, понятие идеала возникло в алгебраической геометрии. Алгебраическая поверхность в пространстве определяется одним алгебраическим уравнением / 0, где / - многочлен от координат. Все многочлены такого типа образуют идеал в кольце многочленов; алгебраическое многообразие состоит из точек, в которых все многочлены идеала обращаются в нуль. Именно для таких идеалов справедлива теорема Гильберта о базисе - один из основных инструментов Гильберта в изучении инвариантов. Эта теорема утверждает, что любой идеал кольца многочленов имеет конечный базис. Теорема Не-тера о вычетах содержит критерий, позволяющий нам решать, принадлежит ли тот или иной многочлен идеалу, элементы которого имеют общими лишь конечное число нулей. Для полиномиальных идеалов Ласкер, бол ее известный нематематикам как неоднократный чемпион мира по шахматам, получил результаты, показьюающие, что свойства таких идеалов значительно отличаются от того, что обнаружил Дедекинд в полях алгебраических чисел. [46]
Идеал 5 ( Л), определенный в предложении, называется разрешимым радикалом конечномерной алгебры А. [47]
Идеал, порожденный одним элементом: / ( а), называется главным. [48]
Идеалы были левыми, а ограниченная аппроксимативная единица должна быть правой. [49]
Идеал, одновременно левый и правый, называется двусторонним идеалом. [50]