Cтраница 2
Каждое рациональное число может быть представлено бесконечной периодической десятичной дробью. [16]
В дальнейшем при представлении рациональных чисел бесконечными периодическими десятичными дробями условимся исключать из рассмотрения бесконечные периодические дроби, период которых равен девяти. [17]
Измерение продолжается неограниченно и в результате получается бесконечная периодическая десятичная дробь. [18]
В § 2 были введены в рассмотрение бесконечные периодические десятичные дроби. Теперь расширим это понятие, введя в рассмотрение новые числа, которые будем называть бесконечными десятичными дробями. [19]
Если оно рациональное, то его десятичное разложение есть бесконечная периодическая десятичная дробь. В противном случае, согласно нашему определению, выражение ( 8) само определяет иррациональное число. [20]
Если оно рациональное, то его десятичное разложение есть бесконечная периодическая десятичная дробь. В противном случае, согласно нашему определению, выражение ( 8) само определяет иррациональ нов число. [21]
Ламберт ( 1728 - 1777) показали, что всякая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом. Непериодическая бесконечная десятичная дробь представляет иррациональное число. Построение действительных чисел на основе бесконечных десятичных дробей было дано немецким математиком К. [22]
Таким образом, всякая обыкновенная дробь pfq представляется конечной или бесконечной периодической десятичной дробью. Замечательно, что и, обратно, всякая периодическая десятичная дробь представима в виде обыкновенной дроби. Покажем, как выполняется это действие. [23]
Каждое рациональное число может быть записано в виде конечной десятичной или бесконечной периодической десятичной дроби. [24]
Таким образом, между множеством всех рациональных чисел и множеством всех бесконечных периодических десятичных дробей устанавливается взаимно однозначное соответствие, если отождествлять бесконечную десятичную дробь с цифрой 9 в периоде с соответствующей бесконечной десятичной дробью с цифрой 0 в периоде. [25]
Докажите, что любое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной периодической десятичной дроби. [26]
Каждое рациональное число может быть записано в виде конечной десятичной или бесконечной периодической десятичной дроби. [27]
Итак, рациональные числа ( и только они) представимы в виде бесконечных периодических десятичных дробей. А существуют ли бесконечные непериодические десятичные дроби. Вопрос этот решается положительно. Чтобы убедиться в этом, достаточно привести хотя бы один пример бесконечной непериодической десятичной дроби. [28]
Таким образом, всякая обыкновенная дробь p / q представляется конечной или бесконечной периодической десятичной дробью. Замечательно, что и, обратно, всякая периодическая десятичная дробь представима в виде обыкновенной дроби. Покажем, как выполняется это действие. [29]
Из вышеизложенного вытекает, что каждое рациональное число может быть записано в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Поэтому естественно иррациональным числом назвать число, которое может быть записано в виде бесконечной непериодической десятичной дроби. [30]