Cтраница 4
Имеются две главные причины, по которым система уравнений с частными производными может не быть локально разрешимой. Первая состоит в том, что система может иметь условия интегрируемости, полученные дифференцированием разных уравнений по разным переменным. [46]
Заметим, что формулы ( 2) не используют условия интегрируемости. [47]
Если, в частности, для данного s выполнены условия интегрируемости (5.13), то из (8.2) следует, что все трехиндексные символы обращаются в нуль. Этого и следовало ожидать, так как тогда тс становится функцией обобщенных координат, а со ее производной по времени. [48]
В частных случаях получаются выражения для сил Пича - Келера, действующих на дислокации, а также предсказывается уменьшение энергии за счет упругого отклика, что соответствует постулату Друккера в теории пластичности. Показывается, что уравнения баланса импульса и момента импульса могут быть получены как условия интегрируемости полевых уравнений. [49]
Приложения, охваченные книгой, включают вычисление групп симметрии дифференциальных уравнений, интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, в том числе специальную технику для уравнений Эйлера - Лагранжа или гамильтоновых систем, дифференциальные инварианты и построение уравнений с предписанными группами симметрии, инвариантные относительно групп решения уравнений с частными производными, теорию размерности, связь между законами сохранения и группами симметрии. Подробно рассматриваются обобщения основного понятия группы симметрии и их приложения к законам сохранения, условия интегрируемости, вполне интегрируемые системы, солитонные уравнения и бигамильтоновы системы. Изложение в разумных пределах замкнуто в себе и дополнено многочисленными примерами, представляющими непосредственный физический интерес и взятыми из классической механики, механики жидкости, теории упругости и других прикладных областей. Кроме основополагающей теории многообразий, групп и алгебр Ли, групп преобразований и дифференциальных форм в книге рассматриваются более специальные вопросы теории продолжения и дифференциальных уравнений: теорема Коши - Ковалевской, характеристики и интегрируемость дифференциальных уравнений, расширенные пространства струй на многообразиях, фактормногообразия, присоединенное и коприсоеди-ненное представления групп Ли, вариационное исчисление и обратная задача характеризации систем, являющихся уравнениями Эйлера - Лагранжа некоторой вариационной задачи, дифференциальные операторы, операторы Эйлера высших порядков и вариационные комплексы, общая теория пуассоновых структур как для конечномерных гамильтоновых систем, так и для систем эволюционных уравнений. Все это имеет непосредственное отношение к изучению симметрии дифференциальных уравнений. Предполагается, что, прочитав эту книгу, читатель будет в состоянии с минимумом трудностей применить эти важные теоретико-групповые методы к интересующим его системам дифференциальных уравнений и сделать новые интересные выводы об этих системах. [50]