Cтраница 4
В заключение заметим, что теоретический подход к вопросам выбора степени полинома, размеров окна и - веса измерений в зависимости от характера приближаемой функции, уровня помех и структуры исходной сети пока не разработан, поэтому эти параметры часто определяются эмпирически по результатам модельных расчетов. Используемый при полиномиальной аппроксимации метод наименьших квадратов обеспечивает минимум погрешностей лишь в самих пунктах наблюдений, а не в области приближения. Тем не менее при сравнительно равномерной исходной сети и небольшом уровне помех интерполяция полиномами методом наименьших квадратов производится с приемлемой точностью. [46]
Рассмотрим более подробно полиномиальную аппроксимацию. [47]
Выбирается вид аппроксимирующих функций. Наиболее часто применяется полиномиальная аппроксимация. В работе [24] показано, что наиболее удачно рассматриваемые уравнения аппроксимируются полиномом второй степени. [48]
Шерифом ( Н.А. Sherif) [451, 452] исследуется круговая трехслойная пластина несимметричного строения под действием осе-симметричной гармонической поперечной нагрузки. Уравнения движения решаются аналитически с использованием полиномиальных аппроксимаций и итерационной процедуры. Численно анализируется влияние структуры пластины на частоты колебаний. Рассмотрены варианты пластин с алюминиевыми и стальными внешними слоями. [49]
Предложено решение некоторых задач интерполяции и аппроксимации, возникающих при моделировании процессов упруго-пластического деформирования элементов конструкций и деталей машин а при решении соответствующих краевых задач экспериментальными методами. Для этой цели использована кусочно-кубическая интерполяция и полиномиальная аппроксимация, основанная на методе наименьших квадратов ( МНК) со статистическим анализом. Дано краткое описание алгоритма МНК с автоматическим выбором степени оптимального полинома. [50]
Влияние дрейфа уменьшается при увеличении числа полупериодов в заданном интервале измерения. Этот результат имеет теоретическое обоснование, поскольку полиномиальную аппроксимацию дрейфа можно рассматривать как разложение в ряд Тейлора в окрестности точки t 0, содержащее производные от r - го порядка. [51]
Мы пока далеки от того, чтобы доказать, что некоторая подпоследовательность аппроксимаций Паде сходится в области такого вида. Однако можно легко показать, что в некоторых случаях полиномиальная аппроксимация не дает результата, и объяснить, почему так важна теорема Рунге. [52]
После вычисления коэффициентов аппроксимирующего полинома по одному из представленных методов может оказаться, что отклонения расчетной и экспериментальной зависимостей будут все же более значительными, чем это желательно. Иногда целесообразнее улучшить распределение погрешности путем введения дополнительного коэффициента в полученную полиномиальную аппроксимацию или воспользоваться экономизацией многочлена с помощью полиномов Чебышева. [53]
Для того чтобы показать какие возможности заключаются в рациональной аппроксимации, докажем две вводные леммы, а затем уже строго сформулируем и докажем теорему Рунге. Необходимость рационального приближения вытекает из простого примера, который показывает безуспешность полиномиальной аппроксимации в этом частном случае и для которого рациональная аппроксимация дает точное решение. В заключение мы приведем теорему Уолша и некоторые однотипные результаты, показывающие, что аппроксимации Паде являются локально наилучшими рациональными аппроксимациями. [54]
Эта матрица известна тем, что она ( или ее небольшие модификации) возникает из многих приложений и ее очень трудно использовать в практических вычислениях. Тем самым, даже если вычисления проводятся с 10 цифрами, только из-за ошибок округления погрешность в определении коэффициентов Cj полиномиальной аппроксимации возрастет по крайней мере в 300 раз. Более того, точность измеряемых данных редко соответствует такому большому увеличению погрешности. Другими словами, такая процедура регрессии бесполезна почти для всех случаев. [55]
С и XQ - константы, которые нужно найти, а х - расстояние вдоль фотографической пластинки по направлению к интересующей нас линии. Если же имеется цифровая вычислительная машина, то данные удобнее обрабатывать методом наименьших квадратов, применив к измеренным стандартным линиям полиномиальную аппроксимацию до четвертого или шестого порядка. [56]