Cтраница 3
Вообще же, через Ленинград надо будет поехать только в самом крайнем случае, если Лефшецу никак не удастся задержаться в Москве на 2 лишних дня. Прилагаю письмо Лефшецу, которое прошу тебя возможно скорее ему передать. Если есть какая-нибудь возможность задержаться ему в Москве, я бы поехал в Москву. [31]
Она написана в прекрасной сжатой форме и может быть настоятельно рекомендована. Книга Ла-Салля и Лефшеца [1961] представляет интерес для первого чтения: изложение предельно просто и в основном ограничено исследованием автономных уравнений. [32]
Они касались применения теоремы Пикара - Лефшеца к отысканию структуры римановой поверхности для интегралов и последующих обобщений формулы Кут-коски для скачков на разрезах. [33]
Двойственность в алгебраической геометрии), связывающие i-мерные и ( п-г) - мерные когомологий пучков на гладком многообразии размерности п; д) Кюннета формулы, выражающие когомологий некоторых пучков на произведении многообразий; е) сравнения теоремы в алгебраич. Одно из важнейших ее применений относится к Лефшеца теореме, сравнивающей свойства многообразия и его гиперплоского сечения. [34]
Если N четно, то этот цикл перейдет обратно в А. Действительно, при этом монодромия определяется теорией Пикара - Лефшеца для функций от нечетного числа переменных N - 1 ( как например функция /), а мы помним, что в этом случае любой оператор Пикара - Лефшеца является отражением, в частности инволюцией. Поскольку интеграл формы объема по циклу Д ( рассматриваемый как функция на PC) не равен тождественно нулю ( это легко усмотреть, когда сам цикл Д близок к исчезновению) мы получаем логарифмическое ветвление интегральной функции. Аналогичные рассуждения проходят вблизи любой другой параболической не бесконечно вырожденной точки поверхности АС и доказывают, что наличие таких точек препятствует алгебраичности функции объема. [35]
Применения алгебраической топологии к изучению топологических групп преобразований начались исторически с работы Брауэра по периодическим преобразованиям и с доказанной чуть позже красивой теоремы Смита о неподвижных точках отображений гомологических сфер с простым периодом. Сравнивая теорему Смита о неподвижных точках с ее предшественницами - теоремами Брауэра и Лефшеца, мы видим, что по крайней мере в случае гомологических сфер можно подняться от простых утверждений о существовании ( или несуществовании) неподвижных точек до действительного определения гомологического типа множества таких точек в предположении, что отображение имеет простой период. Этот результат Смита ясно подсказывает общее плодотворное направление изучения топологических групп преобразований в рамках алгебраической топологии. Естественно, что немедленно вслед за теоремой Смита о неподвижных точках возникает задача ее обобщения как в направлении замены гомологических сфер топологическими пространствами более общего типа, так и в сторону замены группы Zp более общими компактными группами. Аналогичные теоремы о неподвижных точках для действий р-примар-ных групп ( или расширений торов при помощи р-примарных групп) обычно без большого труда выводятся непосредственно из соответствующих теорем для действий группы Zp. Однако разнообразные усилия расширить область действия таких теорем о неподвижных точках за пределы р-примарных групп ( или расширений торов при помощи р-примарных групп) кончались обычно озадачивающими контрпримерами. Смита о неподвижных точках, справедливые для всех конечномерных локально компактных пространств ( см. теорему IV. [36]
А ( двойственность Ситникова); здесь Нр - гомологии с компактными носителями Стинрода - Ситникова, a НЧ - когомологии Александрова - Чеха. Двойственность Алексаидера - Понтрягина - Стинрода - Ситникова - простое следствие двойственности Пуанкаре - Лефшеца и точной последовательности пары. [37]
Вейля ( 1947), предположившего существование теории когомологий, в к-рой была бы верна Лефшеца формула для числа неподвижных точек отображения, и установившего глубокие связи этой гипотезы с чисто арифметич. [38]
Пересечения более общих многообразий, чем гиперповерхности в л-мерном пространстве, обсуждались с динамической точки зрения Се-вери, Ван дер Варденом и Вейлем в 1930 г. В 1928 г. Ван дер Варден ( [ van der Waerden 2 ]), опираясь на пример Маколея ( пример 7.1.5 выше), показал, что наивное определение, использующее длину, работает не всегда. В статье 1930 г. [ van der Waerden 3 ] он отметил также, что топологическая теория пересечений Пуанкаре - Лефшеца позволяет дать понятие кратности пересечения для комплексных многообразий в силу их триангулируемости. Ван дер Варден ( [ van der Waerden 1 ]), Вейль ( [ Weil 2 ]) и Барзотти ( [ Ваг-sotti 1 ]) развили алгебраические понятия специализации для того, чтобы сделать такие геометрические идеи строгими, не связанными с геометрической интуицией и осуществимыми над любыми основными полями. [39]
Если N четно, то этот цикл перейдет обратно в А. Действительно, при этом монодромия определяется теорией Пикара - Лефшеца для функций от нечетного числа переменных N - 1 ( как например функция /), а мы помним, что в этом случае любой оператор Пикара - Лефшеца является отражением, в частности инволюцией. Поскольку интеграл формы объема по циклу Д ( рассматриваемый как функция на PC) не равен тождественно нулю ( это легко усмотреть, когда сам цикл Д близок к исчезновению) мы получаем логарифмическое ветвление интегральной функции. Аналогичные рассуждения проходят вблизи любой другой параболической не бесконечно вырожденной точки поверхности АС и доказывают, что наличие таких точек препятствует алгебраичности функции объема. [40]
Лефшеца Л ( /, X) равно разности между числе м неподвижных точек с индексом Ч-1 и числом неподвижных точек с индексом - 1, в частности не превосходит общего числа неподвижных точек. [41]
Пикара - Лефшеца, сравнивающей ко-гомологии проективного комплексного многообразия и его гиперплоского сечения. Pl - пучок гиперплоских сечений многообразия X с базисным множеством ( осью пучка) УсХ; и пусть выполняются следующие условия: а) У - гладкое подмногообразие в X; б) существует такое конечное множество SC. Пучки с такими свойствами ( п у чки Лефшеца) всегда существуют. Пусть Y % () 1 -) - петля, устроенная так: сначала она идет по f s, затем обходит один раз вокруг s и, наконец, возвращается по y s в о. [42]
Теория гомологии и когомологий как составная часть алгебраической топологии излагается во многих книгах, посвященных этому разделу математики. В настоящей книге эта теория вместе с ее традиционными применениями находит наиболее полное отражение, приобретая вполне завершенный вид. Много внимания уделяется различным вариантам гомологических и когомологических умножений и их роли в описании двойственности Пуанкаре - Лефшеца в топологических многообразиях. Книга существенно выделяется среди прочих не только полнотой изложения, но и рядом других особенностей. [43]
Это эквивалентно требованию того, чтобы поверхности занимали необщее положение. В принципе нетрудно найти уравнение, решение которого описывает поверхность сингулярностей ( например, ландаувскую поверхность), пока мы не интересуемся структурой всей римановой поверхности. Однако эту структуру важно знать; именно для того, чтобы найти ее, мы в настоящей главе закладываем фундамент теоремы Пикара - Лефшеца, которая позволяет разрешить указанную задачу. [44]
Шнирелъманом и, может быть, также с Тихоновым, Франклем иКу - рошем. Если во время его приезда Юлии Антоновны, Толстовой и Сычевой не будет, думаю, что большой беды не произойдет, хотя он, может быть, и втолковал бы смысл своего мемуара. Очень интересен будет, вероятно, разговор Лефшеца с Франклем - Леф-шец - человек и остроумный, и ироничный, думаю, что Франклъ, хоть и очень важная персона, но даст большую пищу для этих его, Лефшеца, свойств. [45]