Cтраница 4
Q, а трубка ретрагируется HaQ. Обозначим через Л с М множество, являющееся объединением дуг, составляющих край дМ вместе с s дугами, концы которых лежат на дМ, и вместе с m такими дугами, каждая из которых соединяет одну из m исключительных орбит в int M с краем дМ; при этом внутренности этих s m дуг лежат в множестве главных орбит. X Р; по условию отсюда следует, что гомоморфизм Hi ( M - A; Z) - - H1 ( M; Z) тривиален. По теореме двойственности Пуанкаре - Лефшеца получаем, что и гомоморфизм Hn - l ( M, A; Z) - - Я 1 ( М; Z) тривиален. Аналогично, так как М - А связно, то Нп ( М, A; Z) - H ( M; Z) есть изоморфизм. Поэтому ограничение Н1 ( М; Z) Hn-1 ( M; Z) - - - - Hn-i ( A; Z) тоже есть изоморфизм. [46]
Она основана, хотя и может показаться, что это излишне, на теории гомологии, кратко изложенной в предыдущем пункте, и при этом использует не весь аппарат этой теории, а только идеи ориентации, границы и приписывание коэффициентов симплексам. Теорема была известна по существу еще около века назад, но изложение, данное здесь, не совсем классическое. Доказательство ее, по-видимому, принадлежит в основном Лефшецу, который первый изложил многие из топологических теорем о неподвижных и совпадающих точках. В работах [2] и [5] изложены некоторые более поздние приложения для специальных случаев, выходящих за пределы наших интересов; изложение, близкое к нашему, можно найти в [ 4, стр. [47]
Риман построил теорию алгебраических функций одной переменной и интегралов от них - так называемых абелевых интегралов - с помощью трансцендентного метода, основанного на использовании принципа минимума в теории потенциала, названного Риманом принципом Дирихле, и вскрыл чисто топологическую основу разнообразных теоретике функциональных отношений, существующих в этой области. Строгое доказательство принципа Дирихле, столь очевидного с точки зрения физика было найдено Гильбертом лишь через пятьдесят лет. Оставалась нерешенной проблема - заменить и обосновать предложенные Риманом трансцендентные доказательства существования явными алгебраическими построениями, исходящими из уравнения алгебраической кривой. Вейерштрасс ( в своих лекциях, подробная запись которых была опубликована позднее) решил эту проблему в присущей ему наполовину функционально-теоретической, наполовину алгебраической манере, но Клебш ввел идеи Римана в геометрическую теорию алгебраических кривых, а после того как Клебш сравнительно молодым умер3, Нетер продолжил его дело: Максу Нетеру удалось возвести все здание алгебраической геометрии кривых на основе так называемой теоремы Нетера о вычетах. Позднее то же направление исследований было подхвачено и продолжено главным образом в Италии; жила, на которую напал Нетер, и поныне продолжает оставаться обильным источником исследований. Убедительным подтверждением тому могут служить работы находящихся среди нас Лефшеца и Зариского. Позднее наряду с трансцендентным методом Римана и алгебро-геометрическим методом Нетера возникла арифметическая теория алгебраических функций, созданная, с одной стороны, Дедекиндом и Вебером, а с другой - Гензелем и Ландсбергом. Именно к этому направлению примыкала и Эмми Нетер. Краткий обзор арифметической теории алгебраических функций, устанавливающий параллелизм соответствующих понятий в конкурирующих теориях, был опубликован Эмми Нетер в Ежегоднике немецкого математического общества ( Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung) за 1920 г. Этот обзор дополнил известный обзор Брилля и Макса Нетера по ал гебро-гео метрической теории, напечатанный в 1984 г. в одном из первых томов Ежегодника. [48]
В этой конструкции цепи и коцепи определяются независимо посредством перехода соответственно к обратному и прямому пределам по некоторой специальной системе покрытий. В категории локально конечных полиэдров возникающая теория эквивалентна классическим гомологиям и когомологиям второго рода. Для конечно порожденных коэффициентов теория гомологии изоморфна теории Бореля - Мура. Описание конструкции элементарно в том смысле, что укладывается в стандартные рамки теории цепных комплексов. Однако цепи и коцепи автоматически совпадают с сечениями определяемых ими вялых и мягких дифференциальных пучков, что позволяет оперировать средствами теории пучков без каких-либо искусственных ограничений. Это проявляется, например, в доказательстве двойственности Пуанкаре - Лефшеца, которая устанавливается при минимальных предположениях и без ограничений на коэффициенты. [49]
Параболических точек у гиперповерхности АС может и не быть. Для гиперповерхности более высокого порядка в общем положении параболические точки должны быть. Если исходная поверхность гладкая, то у проективно двойственной параболических точек нет. Но зато у нее есть много особенностей. Например, при проективной двойственности такие ребра получаются из стандартных параболических точек типа А %, рассмотренных в примере выше. Существование стандартных ребер возврата тоже является препятствием к алгебраичности. Доказательство этого примерно такое же как для параболических точек, но более сложное, потому что приходится изучать оператор локальной вариации не в обычной, а в стратифицированной теории Пикара - Лефшеца. Эта теория изучает ветвление групп гомологии гиперплоских сечений комплексных алгебраических множеств с особенностями при изменении этих секущих гиперплоскостей. [50]