Cтраница 1
Задача погружения над полем К состоит из расширения Галуа L / K конечной степени и сюрьективного гомоморфизма ( р: A - G ( LfK), где А - некоторая конечная группа. Ядро Кег ср часто называют ядром задачи погружения. [1]
Задача погружения предполагает заданными нормальное расширение k / fl с группой Галуа F, группу G и эпиморфизм ф: G - F. Требуется найти условия, при которых существует нормальное расширение K / tl с группой Галуа G такое, что К D k, и эпиморфизм ф совпадает с естественным гомоморфизмом группы Галуа поля на группу Галуа подполя. [2]
Задача погружения разрешима для любого поля алгебраических чисел k, если G - распадающееся расширение с нильпотентным ядром. [3]
Задача погружения интересна именно в той постановке, какую мы дали, но естественная формулировка результатов получается, если в качестве решений К задачи погружения допускать и регулярные алгебры. Регулярной ( см. [4]) называется полупростая коммутативная алгебра К, в которой задана группа автоморфизмов G, причем соответствующее представление G в векторном пространстве К / Q эквивалентно регулярному. С другой стороны, при индукции нам придется ставить задачи погружения над решениями некоторых других задач погружения, в качестве решения которых могут получиться регулярные алгебры. Здесь важно отметить, что все регулярные алгебры, которые встретятся в наших рассуждениях, всегда будут расширениями нормального над J7 поля ko, над которым ставится наша первоначальная задача; они будут содержать поле kg в качестве подалгебры. [4]
Задача погружения над полем К состоит из расширения Галуа LfK. [5]
Задача погружения полей заключается в следующем. Даны нормальное расширение fc / fi с группой Галуа F и группа G, имеющая нормальный делитель 65 с G / 0 F. Требуется узнать, когда существует такое поле К D &, нормальное над Q, что его группа Галуа над fi есть G, а гомоморфизм G на F совпадает с естественным гомоморфизмом группы Галуа поля на группу Галуа подполя. [6]
Задачу погружения мы решаем последовательными шагами. [7]
Поэтому задача погружения ( k / kx, Gx px) элементарна. [8]
В работе исследуется задача погружения конечного расширения в большее расширение с заданной абсолютной группой Галуа. Доказывается, что в случае локальных полей условие согласности Д. К. Фаддеева необходимо и достаточно для разрешимости задачи погружения. [9]
В работе исследуется задача погружения полей алгебраических чисел в поля с большей группой Галуа. Вычисляется второе препятствие к разрешимости задачи погружения. [10]
Мы будем называть задачу погружения ( fc / fi, G, ( f) элементарной, если в точной последовательности ( 1) группа А является k - элементарной F-операторной группой. [11]
Эта задача называется задачей погружения. [12]
При выполнении условия согласности задача погружения ( k / QjG ( f) будет разрешима. [13]
Связь этого понятия с задачей погружения основывается на следующей теореме. [14]
Поле К, являющееся решением задачи погружения, которая сформулирована в теореме 3, не будет, вообще говоря, относительно - шольцевым. [15]