Cтраница 2
В нем указывалось на аналогию между задачей погружения в теории Галуа полей алгебраических чисел и задачей классификации эллиптических кривых, определенных над полями алгебраических чисел. Объекты, изучаемые в обеих теориях, обладают локальными инвариантами, связанными с пополнениями поля определения, и основной интерес представляют именно локально тривиальные объекты. В случае эллиптических кривых это приводит к двум конкретным гипотезам: 1) над заданным полем р-адических чисел имеется лишь конечное число бирационально неизоморфных кубических кривых с заданным абсолютным инвариантом и 2) если над полем алгебраических чисел k задана кубическая кривая С, то над k имеется лишь конечное число бирационально неизоморфных кубических кривых, которые над всеми р-адическими пополнениями поля k изоморфны С. [16]
Для циклических алгебр С -, возникших из задачи погружения, выполняются локальные условия для их согласования. [17]
Для случая, когда группа 65 коммутативна, задача погружения для полупрямого произведения была полностью решена Шольцем [7], который показал, что в этом случае искомое поле К всегда существует. [18]
Для этого напомним, как выражаются все решения задачи погружения через одно из них. Расширение KQ К - k поля мы будем называть тривиальным. [19]
Мы видим, что задача отыскания второго препятствия для задачи погружения сводится к некоторой задаче о циклических алгебрах. [20]
Ввиду леммы 1, для нахождения второго препятствия в задаче погружения нам достаточно ответить на следующий вопрос. Пусть для системы С, циклических алгебр выполнены локальные условия для их согласования; когда систему алгебр С - можно согласовать. К этому вопросу мы и переходим. [21]
Пусть дана группа характеров 21 нормального делителя А в задаче погружения. [22]
Для доказательства достаточно заметить, что при переходе к задаче погружения ( kl / Q G, p) условие теоремы сохраняется. [23]
Для этого сначала исследовались первое и второе препятствия в задаче погружения в общем виде. Первое препятствие - это известное ранее условие согласности. Второе препятствие ( связанное с выполнимостью условия согласности после первого шага в задаче погружения) было получено в виде набора циклических алгебр, зависящих от некоторого параметра из основного поля. Для локальных полей было доказано, что с помощью этого параметра соответствующий набор циклических алгебр может быть приведен к распадающемуся виду, т.е. что второе препятствие для локальных полей исчезает. Далее в работе 1962 г. [39] было исследовано второе препятствие для задачи погружения полей алгебраических чисел. [24]
Мы выясним теперь, в чем заключаются условия разрешимости той задачи погружения, которая была сформулирована в предшествующем параграфе в случае, когда k - поле алгебраических чисел. [25]
Следовательно, для доказательства леммы достаточно показать, что для задачи погружения Рр исчезает второе препятствие. Мы покажем больше, а именно, что задача погружения Рр разрешима. Таким образом, речь идет о доказательстве следующего утверждения: для разрешимости задачи погружения ( k / tt G y), где fi - локальное поле и k - алгебра, достаточно исчезновения первого препятствия. Применить здесь прямо теорему 4 работы [1] нельзя, так как там все рассуждения велись для случая, когда k - поле. [26]
Очевидно, что К D k и дает решение интересующей нас задачи погружения. [27]
Hasse) не только необходима, но и достаточна для разрешимости задачи погружения. [28]
Уравнения вида (6.1) были уже использованы в § 3 главы VII для задачи погружения пластинки в вязкую среду. [29]
Дальше мы пользуемся редукционной теоремой Kochendorffer a [5], согласно которой исследование задачи погружения сводится к случаю, когда G есть р-группа. Тогда AjA лежит в центре G / A. [30]