Cтраница 3
Легко проверить, что отношение сопутствования действительно определяет частичную упорядоченность во множестве задач погружения. [31]
Эта теорема содержит в качестве частных случаев ряд результатов, полученных раньше в задаче погружения и в задаче построения полей с заданной группой Галуа. [32]
Если число образующих группы G равно числу образующих группы F, то любое решение задачи погружения ( fc / fi, G, ( f) будет полем. [33]
Выясним сначала, что означают локальные условия для алгебр С - с точки зрения задач погружения. Q до Пр, исчезает второе препятствие. [34]
Мы дадим сейчас определение одного класса полей, который интересен тем, что для него задача погружения имеет положительное решение в ряде наиболее важных случаев. [35]
Если общий наибольший делитель чисел р G ft, равен 1, то исчезновение первого препятствия для задачи погружения ( fc / ft, G, р) поля алгебраических чисел k достаточно для ее разрешимости. [36]
Покажем, что если за с взять любое произведение простых чисел вида 16п 7, то для задачи погружения ( k / R G p) будут выполнены все перечисленные выше условия. [37]
Обозначим через E ( G) подгруппу тех элементов группы E ( G), соответствующие которым задачи погружения разрешимы. [38]
Пусть К разветвлено только в простых дивизорах множества S, р S и К - некоторое решение задачи погружения. [39]
Из разрешимости данной задачи погружения ( fc / J7 G, f) следует разрешимость всех ее сопутствующих задач погружения. [40]
Если фактор-группа F индуцирует в группе характеров нормального делителя циклическую группу автоморфизмов, то исчезновение первого препятствия для задачи погружения ( k / Q, G, р) поля алгебраических чисел k достаточно для ее разрешимости. [41]
Вопрос заключается в разыскании инвариантов поля k, группы G и эпиморфизма у, от которых зависит разрешимость задачи погружения. Мы называем такие инварианты препятствиями. Мы называем эти условия первым препятствием. В общем случае согласности не достаточно для разрешимости задачи погружения. [42]
Задача заключается в таком выборе множителя т, чтобы алгебра k ( typom), тоже являющаяся решением задачи погружения ( fc / fi, F1, V)) была согласна с группой G. Покажем, что выбор такого множителя m возможен. [43]
Задача погружения интересна именно в той постановке, какую мы дали, но естественная формулировка результатов получается, если в качестве решений К задачи погружения допускать и регулярные алгебры. Регулярной ( см. [4]) называется полупростая коммутативная алгебра К, в которой задана группа автоморфизмов G, причем соответствующее представление G в векторном пространстве К / Q эквивалентно регулярному. С другой стороны, при индукции нам придется ставить задачи погружения над решениями некоторых других задач погружения, в качестве решения которых могут получиться регулярные алгебры. Здесь важно отметить, что все регулярные алгебры, которые встретятся в наших рассуждениях, всегда будут расширениями нормального над J7 поля ko, над которым ставится наша первоначальная задача; они будут содержать поле kg в качестве подалгебры. [44]
Кроме того, j2 1, так как 2 96 1 в 2 и - с w 1 в 2 - Таким образом, для задачи погружения ( й ( / с, / 2) 0 / V7) ПРИ условии, что с имеет лишь простые делители вида 16га 7, второе препятствие не исчезает. Следовательно, эта задача погружения не разрешима. [45]