Cтраница 3
При I а U 1 решение вырожденной задачи вблизи точки х 0 должно заметно отличаться от решения исходной задачи, так как первое равно 1 при х 0, а второе, согласно условию (4.3.4), обращается в нуль. [31]
Многие задачи оптимального управления ракетодинамики, лазерной технологии, робототехники, математической экономики и экологии, первоначально поставленные как классические, не имеют решения в традиционном классе абсолютно непрерывных траекторий и измеримых управлений из-за неограниченности понтрягинского множества допустимых управлений. Поскольку траекторные компоненты минимизирующих последовательностей в таких нерегулярных, вырожденных задачах сходятся к разрывным функциям, а управляющие характеризуются наличием дельтообразных составляющих и сходятся в смысле распределений, то возникает проблема расширения этого класса задач, направленная на включение предельных элементов в множество допустимых процессов. На этом пути и возникают задачи импульсного оптимального управления. [32]
Рассмотренные примеры показывают эффективность предлагаемых преобразований, если они уже известны. При этом факт вырожденности устанавливается апостериори, определение вырожденной задачи проверяется как бы эмпирически. Проблема состоит, однако, в том, чтобы обнаружить признаки вырожденности в исходной постановке задач и предложить способы построения разрешающих расширений. [33]
При / г-оо эти решения переходят в решение вырожденной задачи ( 9), ( 12), соответствующее решению хг. [34]
В большинстве из этих работ рассматриваются такие решения различных вырожденных задач, которые являются сильно устойчивыми и / или ( 10) - устойчивы ми. [35]
I в (2.8) имеет место равенство, то такая угловая точка называется вырожденной. Формально описываемый ниже симплекс-метод может применяться и к вырожденным задачам, но гарантировать его конечность можно лишь при отсутствии ситуации вырождения. [36]
Из этих иллюстративных примеров ясно, что случай вырожденной задачи должен встречаться относительно редко, и, как показывает практика, это действительно так. Тем не менее, вычислительная процедура симплекс-метода предусматривает возможность вырожденной задачи. Однако, с целью сделать более явной основную идею метода, вначале изложим его для невырожденной задачи. [37]
В общем случае совокупности траектории частиц в ньютоновской теории, пересечение траекторий и бесконечная плотность достигаются за счет движения по одной координате, так что в первый момент возникают плоские области. Пересечение вдоль линии или в точке требует дополнительных условий, возникает в вырожденной задаче. [38]
Нетрудно видеть, что переменные р и q - переменные действие-угол. Так как ЭЖ) Я сой 0, то задача Эйлера-Пуансо является вырожденной задачей. [39]
Описанная схема явно демонстрирует тот факт, что принцип расширения [7], предложенный изначально для исследования готовых математических моделей или задач в готовой математической постановке, может играть активную роль и на этапе моделирования изучаемого объекта, когда речь заходит об исследовании той или иной прикладной проблемы с самого начала, и еще нет готовой математической постановки. С этой точки зрения переход к производной системе ( задаче), описанный выше, как способ решения вырожденной задачи, можно с полным правом рассматривать и как начало математического исследования, и как продолжение процесса моделирования. [40]
Однако возможны случаи, когда сформулированное выше предположение и, следовательно, приведенный вывод основных, соотношений симплексного метода не подтверждаются. Задачи, в которых имеется линейная зависимость менее чем m - f 1 векторов-столбцов матрицы ограничений, называются вырожденными задачами линейного программирования. Теоретически при их решении симплексным методом может возникнуть зацикливание, обусловленное тем, что значение линейной формы не изменяется при переходе к новому базисному решению. [41]
Однако возможны случаи, когда сформулированное выше предположение и, следовательно, приведенный вывод основных соотношений симплексного метода не подтверждаются. Задачи, в которых имеется линейная зависимость менее, чем m - - 1 векторов-столбцов матрицы ограничений, называются вырожденными задачами линейного программирования. Теоретически при их решении симплексным методом может возникнуть зацикливание, обусловленное тем, что значение линейной формы не изменяется при переходе к новому базисному решению. [42]
Если среди базисных переменных нет равных нулю, то угловая точка х ( а называется невырожденной, в противном случае - вырожденной угловой точкой. Соответственно, если среди угловых точек задачи линейного программирования нет вырожденных, то она называется невырожденной, в противном случае - вырожденной задачей линейного программирования. Для решения канонической задачи линейного программирования чаще всего применяют симплекс-метод. [43]
Вообще говоря, индекс s определяется из условия III неоднозначно. Для невырожденной задачи индекс г, удовлетворяющий (1.15), единствен; обратное означало бы, что опорная точка х содержит менее га положительных координат. Но для вырожденной задачи таких г может быть много. На практике обычно выбирают наименьшие s и г, удовлетворяющие указанным требованиям. [44]
С появлением оптимального управления ситуация резко изменилась. Сама модель, постановка задачи оказалась удивительно приспособленной для приложений. И вскоре выяснилось, что вырожденные задачи оптимального управления, приводящие к необходимости рассматривать разрывные траектории и импульсные управления, это вовсе не экзотика. [45]