Cтраница 1
Алгебра Ли группы G, рассматриваемой как группа Ли, совпадает с алгеброй Ли этой группы, рассматриваемой как алгебраическая группа. Размерность группы Ли G равна размерности алгебраической группы G. [1]
Алгебры Ли других матричных групп Ли ищутся аналогично. [2]
Алгебра Ли над полем характеристики О называется полупростой, если ее фундаментальная билинейная форма невырождена. [3]
Алгебра Ли g над полем характеристики О называется редуктивной, если фактор-алгебра алгебры g no ее центру есть полупростая алгебра. [4]
Алгебра g / fy изоморфна идеалу fy, следовательно, также редуктивна. [5]
Алгебра Ли компактной группы Ли редуктивна. [6]
Алгебра gt ( V) всех эндоморфизмов пространства V редуктивна ее центр состоит из скалярных кратных тождественного автоморфизма / пространства V ее производной алгеброй является алгебра 1 ( V) всех эндоморфизмов пространства V, след которых равен 0; алгебра 1 ( 10 полупростая. [7]
Алгебра о ( В) полупроста, кроме случая, когда п 2 и форма В - симметрическая, в этом последнем случае она абелева. Ее размерность равна п ( п - 1) / 2, если форма В - симметрическая, и п ( п - -) / 2, если В - кососимметрическая. [8]
Алгебра g допускает полупростое точное представление ( предложение 3 § 4 гл. Отсюда следует, что присоединенное представление а алгебры gt ( V) индуцирует полупростое представление алгебры g ( следствие 2 предложения 4 § 4 гл. Мы хотим показать, что наибольший идеал п алгебры а, состоящий из нильпотентных элементов алгебры gl ( V), совпадает с 0; отсюда, в силу теоремы 3, будет вытекать, что а - редуктивная алгебра. [9]
Алгебра adgl) - образ алгебры при присоединенном представлении алгебры g - является подалгеброй алгебры b дериваций алгебры g; алгебра b есть алгебра Ли группы автоморфизмов алгебры g ( теорема 16 § 14 гл. Множество всех дериваций D алгебры g, таких, что D ( a) 0), является алгебраической подалгеброй в b и содержит adgf); следовательно, она содержит также с. Так как а - множество всех элементов из g, перестановочных со всеми элементами из), то оно является одновременно множествОхМ всех элементов из g, отображаемых в 0 всеми операторами из с. Алгебра с есть алгебра Ли неприводимой алгебраической группы Г автоморфизмов алгебры g, a a - множество всех элементов из g, оставляемых на месте операторами из Г ( следствие 5 теоремы 1 из гл. Если ш - такое подпространство алгебры g, что [ I), m ] czm, то множество дериваций алгебры д, отображающих m в себя, образует алгебраическую алгебру Ли, содержащую adgf), а значит, и с. Отсюда следует, что тождественное отображение с в пространство эндоморфизмов пространства g есть полупростое представление алгебры с, так что тождественное отображение группы Г в группу автоморфизмов пространства д - полупростое представление группы Г ( следствие 4 теоремы 1 из гл. [10]
Алгебра b является алгеброй Ли группы автоморфизмов алгебры g ( том II, теорема 16 из § 14 гл. II); значит, это алгебраическая алгебра Ли. [11]
Алгебра 5 есть 77, где - двусторонний идеал в Т, порожденный элементами вида х у - у х, где х и у принадлежат W. Так как характеристика основного поля равна нулю, то g ( Tr) g ( S r) Sr ( предложение 6 из гл. [12]
Алгебра д допускает точное представление. [13]
Алгебра b дериваций алгебры а является алгебраической алгеброй ( том II, теорема 16 из § 14 гл. II); следовательно, и принадлежит b ( том II, предложения 2 и 3 из § 14 гл. [14]
Алгебра Ли ad a - образ алгебры а при ее присоединенном представлении - есть алгебра эндоморфизмов векторного пространства а, но ad а не обязательно алгебраична. [15]